树分块 学习小记

Part 1 树分块-树上撒点 简介

树分块顾名思义就是在树上分块，类比树链剖分一样将整棵树划分成很多邻域块，我们希望去寻找到较优的分界点。

Part 2 随机撒点与确定性算法

随机撒点

我们引出一个直观的想法，就是我们可以在树上随机撒点，这样在撒 \(O(\frac{N}{B})\) 个点的情况下每一个点到它祖先上最近的一个关键点的距离是期望 \(O(B)\) 的，证明感性理解吧，毕竟是随机的。

随机化算法大多都有常数大的特点，在分块这种高复杂度算法下的大常数非常致命，我们需要一个更加稳定的分块方式，要求它是确定性的，且能够满足要求的撒点方式。

确定性算法

从最难覆盖的点入手，我们将所有点按 \(dep\) 从大到小排序，每一个点都判断它祖先上的至多 \(O(B)\) 个点中有没有关键点，如果有，则该点已经合法，如果没有，则将它的第 \(B\) 级祖先标记为关键点，使其覆盖更多的非关键点。因为已经排了序，所以不会出现子树内覆盖不了的情况，因为每个点都至少覆盖了 \(B\) 个点，所以总点数是 \(O(\frac{N}{B})\) 的。

可以在关键点上预处理信息，或者从关键点往下转移来跑莫队。

Part 3 例题

P6177 Count on a tree II/【模板】树分块

雪辉