一个微分方程的解析解

近日我在给工程硕士讲《高等工程数学》，在讲授微分方程数值解这一节课的时候。
遇到一个一阶非线性微分方程初值问题，如下：

\[\begin{cases} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = y-\dfrac{2x}{y}\\ y(0)=1\\ \end{cases} \]

解析解为 \(y = \sqrt{1+2x}\)，学生问怎么求出来的？
现解答如下：
两边同时乘以 \(2y\)，可得 \(2 y'y = 2y^2 -4x\), 令 \(u=y^2, \text{d}u = 2y'y\text{d}x\)，
原方程变为 \(u' - 2u = -4x\) ,这是一个一阶线性非其次常微分方程，可以用变易系数法求解，
先求解对应的齐次线性微分方程 \(u' - 2u =0\), 用分离变量法易得

\[\dfrac{\text{d}u}{\text{d}u} = 2\text{d}x, \]

两边积分得，

\[\int\dfrac{\text{d}u}{\text{d}u}=\int 2\text{d}x, \]

即

\[\ln|u| = 2x+\ln|C|, \]

亦即

\[u= C\text{e}^{2x}, \]

变易常数 \(C\) 为 \(C(x)\), 得到 \(u= C(x)\text{e}^{2x},\)
求导 \(u'= C(x)'\text{e}^{2x}+2C(x)'\text{e}^{2x},\)
代入 \(u' - 2u = -4x\)，得

\[C(x)'\text{e}^{2x}+2C(x)\text{e}^{2x} -2\, C(x)\text{e}^{2x} = -4x, \]

整理得 $$C'(x) = -4x\text{e}^{-2x},$$
解得 $$C(x) = 2\int x\text{d}(\text{e}^{-2x}) = 2x\text{e}^{-2x}-\int \text{e}^{{-2x}\text{d}(2x)=2x\text{e}}+\text{e}^{-2x}+C_1,$$
即$$C(x) = (1+2x)\text{e}^{-2x}+C_1,$$
代入 \(u= C(x)\text{e}^{2x}\)，得到

\[u= ((1+2x)\text{e}^{-2x}+C_1)\text{e}^{2x}=1+2x+C_1\text{e}^{2x}, \]

又因为 \(u(0) = y(0)^2=1\), 代入上式得 \(C_1=0\), 故 \(u = 1+2x,\) 又 \(y(0)=1>0\), 所以解析解为 \(y = \sqrt{1+2x}.\)

解法二：套公式
原方程乘以 \(2y\) 得 $ 2yy' = 2y^2-4x$, 令 \(u = y^2\), 则变为 \(\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} = 2u -4x\), 即 \(u'-2u = -4x\), 由\(y'+P(x)y = Q(x)\) 的通解公式
\(y = \text{e}^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\text{e}^{\int P(x) \text{d}x}\text{d} x +C)\), 得 $$u(x) = \text{e}^{2x}(\int (-4x)\text{e}^{-2x}\text{d} x +C ) = \text{e}^{{2x}(2x\text{e}}+\text{e}^{{-2x}+C)=(1+2x)+C\text{e}}$$, 由于 \(u(0)=y^2(0)=1\), 故 \(C=0\) , 于是 \(u = 1+2x\), 又 \(y(0)=1>0\), 得 \(y=\sqrt{1+2x}.\)