Educational Codeforces Round 173 (Rated for Div. 2) E

CF2043E

题意

给定两个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\) 和 \(B\)（其中的整数介于 \(0\) 和 \(10^9\) 之间），可以对 \(A\) 矩阵进行如下操作，问是否能变换为矩阵 \(B\)。

• \(\&=\)：选择两个整数 \(i\) 和 \(x \ (1 \leq i \leq n, x \geq 0)\)，并将第 \(i\) 行中的每个元素替换为 \(x\) 与该元素 \(\text{and}\) 运算的结果。
• \(|=\)：选择两个整数 \(j\) 和 \(x \ (1 \leq j \leq m, x \geq 0)\)，并将第 \(j\) 列中的每个元素替换为 \(x\) 与该元素 \(\text{or}\) 运算的结果。

数据范围：\(1 \leq n, m \leq 10^3\)，\(1 \leq n \cdot m \times 10^3\)。

做法

前置知识：差分约束系统。

按位考虑。在某一位的情况下考虑问题，操作等价替换为：

1、将某一行的元素全部变为 \(0\)；

2、将某一列的元素全部变为 \(1\)。

显然每一行 / 每一列均至多操作一次。

考虑给行、列操作定义执行顺序，则容易发现，若 \(A\) 中某元素 \((i, j)\) 要从 \(1\) 变为 \(0\)，等价于对行 \(i\) 的操作一定要后于列 \(j\)，反过来也是类似。

那么，\(A\) 中元素若需要修改，则等价于给两个变量确定一个大小关系。

这让我们联想到差分约束系统。

但实际上，就算 \(A\) 中元素不需要修改，也可能需要满足某些变量之间的大小关系，具体来说：若 \(A\) 在某位置上为 \(0\) 且不需要修改，则需要考虑若该列修改过，那么该行的操作必须后于列 \(j\)，若列 \(j\) 未操作，则无要求，反过来也是类似。

因此，对于是否操作过某行 / 某列打个标记，每次确定要修改某行 / 某列时也需判断该行 / 该列的其他元素是否额外增加了约束条件。

最后跑个 spfa 判断是否有负环即可。

时间复杂度：\(\mathcal O\left(T\log X \cdot (n + m) nm \right)\)（实际上远远到不了此上限）。

评测链接。