【数论】0 / 1 分数规划

0 / 1 分数规划

问题引入

我们要解决的是 \(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}\)，其中 \(x_i \in \{0, 1\}\)，要求让上述式子最大值。

分析

我们考虑转换问题，若 \(\exists \ L\)，满足 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0\)，那么 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i \times a_i \geq \sum\limits_{i=1}^n x_i \times b_i \times L\)，此时，\(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}\) 的最大值一定 \(\geq L\)，若 \(\nexists \ L\)，满足 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0\)，那么 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i \times a_i < \sum\limits_{i=1}^n x_i \times b_i \times L\)，此时，\(\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i \times x_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i \times x_i}\) 的最大值一定 \(< L\)，我们发现这个 \(L\) 是满足单调性的，于是我们可以二分这个 \(L\)。

现在问题就变为了如何判定是否存在 \(x_i\) 满足 \(\sum\limits_{i=1}^n x_i \times(a_i - b_i \times L) \geq 0\)，这个很简单，当 \(a_i - b_i \times L > 0\) 时，我们便让 \(x_i = 1\)，否则 \(x_i = 0\)。

于是这个问题就在 $ \mathcal O(n \log \max{L})$ 解决了。

若限制 \(x_i\) 为 \(1\) 的个数为 \(k\) 个，我们只需在 check 时求出所有的 \(a_i - b_i \times L\)，然后从大到小排序一遍，选取前 \(k\) 个，判断是否 \(\geq 0\) 即可。