【数论】BSGS

BSGS

问题引入

我们需要解决 \(a^x \equiv b \ (\bmod \ M)\) 的一个解 \(x\)，其中 \(a, p\) 互质。

分析

首先，如果有解，那么解一定在 \([0, p]\) 这个区间内，根据抽屉原理，\(a^x \bmod p\) 只会有 \(p - 1\) 个取值，故 \([0, p]\) 中至少会存在两个相同余数的数，即一定存在一对 \(i, j\) 满足 \(a^i\equiv a^j \ (\bmod \ M)\)，那么在 \(i\) 之后，\(a^i \bmod \ M, a^{i + 1} \bmod \ M, \cdots a^{j} \bmod \ M\) 这些数会循环出现，故如果有解，那么解一定在 \([0, p]\) 这个区间内。

我们考虑把 \(x\) 进行拆分，\(x=qm-p\)，其中 \(m=\left\lfloor\sqrt{x}\right\rfloor+1\)，\(q \in [1, m]\)，\(p \in [0, m]\)。

显然，\(qm-p\) 可以表示出 \(0 \sim m\) 中的所有数。

我们把原式修改一下得到 \(a^{qm-p} \equiv b \ (\bmod \ M)\)，\(a^{qm} \equiv b \times a^{p} \ (\bmod \ M)\)

我们发现 \(q\) 与 \(p\) 没有关系了，考虑先 \(O(\sqrt{x})\) 枚举 \(p\)，把 \((b \times a^p) \bmod M\) 放入哈希表（map 也行），然后再 \(O(\sqrt{x})\) 枚举 \(a^{qm}\)，找到最小的 \(q\) 满足 \(a^{qm} \bmod M\) 在哈希表中出现过，那么 \(qm+p\) 就是最小的答案。

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扩展 BSGS

问题引入

我们要解决的还是 \(a^x\equiv b \ (\bmod \ p)\) 这个问题，只是不满足 \(a\) 与 \(p\) 互质。

分析

若 \(a\) 与 \(p\) 互质，那么就会存在逆元，可以将 \(x\) 分解为 \(qm - p\) 来求解，所以我们要想办法让 \(a, p\) 变得互质。

我们考虑把这个式子转化为不定方程，\(a^x -yp = b\)，首先，我们求出 \(d_1=\gcd(a, p)\)，然后整个式子都除以 \(d_1\)，若 \(b\) 与 \(d_1\) 互质，那么就无解，否则我们继续求出 \(d_2=\gcd(a, p)\)，一直进行下去，直到 \(a\) 与 \(p\) 互质。

假设进行了 \(k\) 次，最后得到式子就是 \(\dfrac{a^k}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i}\times a^{x-k}-\dfrac{yp}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i}=\dfrac{b}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i}\)，其中 \(a\) 与 \(p\) 互质。

我们再化为同余方程的形式，\(\dfrac{a^k}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i}\times a^{x-k}\equiv \dfrac{b}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i} \ (\bmod \dfrac{p}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i})\)，显然，求出 \(\dfrac{a^k}{\prod\limits_{i=1}^{k}d_i}\) 的逆元，然后直接移到右边，直接用 BSGS 来解决，然后最后把答案加上 \(k\) 即可。

注意，不保证答案小于 \(k\) 的情况，故在消因子前做一下 \(O(k)\) 枚举，直接验证 \(a^i \equiv b \ (\bmod \ p)\)，就能避免这种情况。

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