倍增及其简单应用

一、倍增

    倍增是一种特殊的递推、查找方式。如果说你从第一个开始一个一个递推或者一个一个查找会超时，倍增就是一个很好的解决方案。倍增的原理也很简单：每一次往前找2的整数次幂个——例如第一次找一个，第二次2个，第3次4个，第4次8个——直到找到目标数字为止。如果总共有n个数字，这个算法只需要logn的效率。另外，STL的动态数组vector也是通过倍增来申请空间的：第一次申请一个，用完之后再申请1个，然后是2个，4个，8个……一般来讲，在使用倍增时我们的做法是倒序枚举2的整数次幂为步长，能前进（累加）则前进（累加）。

【例1 似曾相识的倍增模板题】

给定一个有n (n<=10⁵)个数的有序递增数列和m (m<=10⁵)个询问，每次询问要你找到某个数字在不在这个数列里，在数列的哪里。

 

分析：这个本来是二分查找的模板，现在我们用倍增解决。出发的位置是0。首先枚举2的整数次幂的步长，从2²⁰开始，下一个是2¹⁹,2¹⁸，直到2⁰=1。当现在位置是i，加上步长变成了(i+2^j)，判断(i+2^j)比询问的数字大还是小。如果大了，就说明不能往前走；否则就可以往前走。

例如如果要找的点在第115的位置，那么枚举2²⁰,2¹⁹，…都不能往前走；只有枚举到2⁶时才可以（此时来到了64号位置），下一个是枚举2⁵也可以走（此时在96），然后是2⁴还是可以走（此时在112）；不过枚举2³时就不能走了（因为这样会到达120），2²也不行（会到达116）；最后枚举2¹可以走（114），2⁰可以走（115），你就找到115了。

实际上倍增的这种做法与二进制划分是密切相关的，因为任何一个数都可以写成若干个2的整数次幂相加的形式，所以倍增一定能在logn的时间内找到答案。倍增还有别的一些走法，例如先从小到大，再从大到小枚举步长，但是都没有上一种做法简单。

 

二、ST表解决RMQ问题

RMQ是区间最值问题的别名：给你一个数组 ，其中有n个数字，现在给你m个询问，给你区间[l,r]，问你在这个区间内的最大值为多少？如果是暴力做法，每次一个for，nm的时间内才可以解决。但是区间最值问题满足区间可加性，就是说知道一个区间左半边的max和右半边的max，就可以知道整个区间的max。当然min也一样。ST表就需要这种性质，联系倍增，可以在nlogn的预处理之后O(1)回答每个询问。（为了方便，接下来的讲解都以max为例）

    建立：设st[i][j]为从i出发，向前2^j的范围内的最大值。也就是区间[i,i+2^j-1]里的max。然后你可以像dp那样去推：

初始条件：st[i][0]=a[i]

递推方程：st[i][j]=max{st[i][j-1],st[i+2^j-1][j-1]}

递推边界：i和(i+2^j-1)属于[1,n]，j不超过(1+log₂n)。

初始条件和递推边界很容易理解，这个递推方程是怎么回事呢？由于st[i][j]管的是区间[i,i+2^j-1]，st[i][j-1]管的就是[i,i+2^j-1-1]，而st[i+2^j-1][j-1]管的就是区间[i+2^j-1,i+2^j-1]，两个小区间的并集恰好就是大区间。根据max的区间可加性，在两个小区间的max里再取个max，就能得到大区间的max。

枚举的时候也要注意，j放在外边，从1到1+logn顺序枚举。还有就是2ⁱ请写成(1<<i)，不要写快速幂，更不要用pow函数。球球李门。

    查询：我们现在知道了任意一个长度为2的整数次幂的区间的max，但是他问我的区间长度不一定是2的整数次幂，不能直接来自st数组。所以我们要利用多个max。如果他问我的是区间[l,r]，长度len=r-l+1，那么我们整一个t=log₂len（向下取整），区间[l,l+2^t-1]肯定是[l,r]的子集；区间[r-2^t+1,r]也是。而且这两个子区间的并集就是[l,r]。我们欣喜地发现，前一个区间就是st[l][t]，后一个就是st[r-2^t+1][t]。所以[l,r]的答案就是max{st[l][t], st[r-2^t+1][t]}。

    解决RMQ的数据结构要多少有多少，除了ST表还有线段树，树状数组，区间fhq，区间splay，甚至还有主席树，划分树，归并树，笛卡尔树。但是ST表绝对是查询速度最快的，如果查询次数特别多，ST表是最优甚至唯一的选择。

 

【例1 Flowerpot S】

    老板需要你帮忙浇花。给出N滴水的坐标，y表示水滴的高度，x表示它下落到x轴的位置。每滴水以每秒1个单位长度的速度下落。你需要把花盆放在x轴上的某个位置，使得从被花盆接着的第1滴水开始，到被花盆接着的最后1滴水结束，之间的时间差至少为D。

我们认为，只要水滴落到x轴上，与花盆的边沿对齐，就认为被接住。给出N滴水的坐标和D的大小，请算出最小的花盆的宽度W。1≤N≤100000，0≤x,y≤10⁶

 

    分析：首先二分答案，二分花盆宽度，每次要测试花盆的宽度是否合乎要求。比如说当前的花盆宽度是mid，那么for循环枚举花盆的位置：1~mid+1,2~mid+2,……对于位置在i~mid+i的花盆，可以查询横坐标在[i,mid+i]里所有水滴的y坐标的max，与所有y坐标的min的差值。查询max和min就是ST表的任务：在二分之前先按照横坐标为数组下标，预处理一遍所有的水滴建立ST表；每次查询可以O(1)回答。整体的时间复杂度只有xlogx级别，与该题正解单调队列同级。

 

三、倍增LCA

    树上最近公共祖先（LCA）：在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先（另一种说法，离树根最远的公共祖先）。利用ST表实际上可以解决LCA问题，但是较麻烦，有兴趣的同学可以查询国家集训队论文《RMQ与LCA问题》（作者郭华阳）

    最常见的LCA就是用倍增解决。但是最简单的LCA是暴力。暴力LCA只需要先深搜一遍获得每个点的父亲节点fa[x]和深度dep[x]，接着对于每个询问都暴力往上跳。考虑到有些人连暴力都写不来，这里详细讲一讲暴力怎么写：

第一步：u和v深度可能不一样，先把它们深度跳成一样的。不妨设dep[u]>dep[v]，那么只要dep[u]偏大，就不断地让u=fa[u]，直至dep[u]==dep[v]。

第二步：深度一样了，但是要特判一下u和v是不是同一个点。如果是同一个点，那直接输出这个点，就是lca。否则转到第三步。

第三步：u和v同时往上跳，直到相遇。也就是说在u!=v的条件下一直让u=fa[u],v =fa[v]。相遇的那个点就是LCA。

    暴力的时间复杂度是nm，但是如果树是随机的，暴力的时间只有log级别。因为对于一棵随机树，树的深度只有logn级别。

    倍增LCA实际上就是暴力优化。首先也需要深搜一遍得到fa数组和dep数组。然后设pare[i][j]是节点i的2^j级祖先，就可以类似dp也类似st表的办法进行递推：

初始条件：pare[i][0]=fa[i]

递推方程：pare[i][j]=pare[pare[i][j-1]][j-1]

递推边界：i属于[1,n]，j不超过(1+log₂n)。

    递推方程可能比较难以理解。方程的字面意思是“i的2^j-1级祖先的2^j-1级祖先是i的2^j级祖先”，非常拗口，只能举例说明。如果j=1，那么pare[i][j]是i的2级祖先，也就是i的爷爷；而i的爷爷是i的父亲的父亲，也就是i的一级祖先的一级祖先；同理j=2的时候，意味着i的高祖（？）是i的爷爷的爷爷；以此类推。如果实在不理解，你就先背下来，以后慢慢就懂了。

    递推的时候要注意，j放在外面循环，从1到1+logn；里边枚举i只需要简单的1~n枚举就好了，不要想那些有的没的。

    预处理完了之后，查询操作和暴力也比较相似，分为三步：

第一步：u和v深度可能不一样，先把它们深度跳成一样的。不妨设dep[u]>dep[v]，那么只要dep[u]偏大，就不断地让u往上跳。往上跳的时候倒序枚举j，如果pare[u][j]的深度小于等于v，就可以跳，否则不能跳——和倍增查找是一样的。跳到最后，u和v的深度就会一样。

第二步：深度一样了，但是要特判一下u和v是不是同一个点。如果是同一个点，那直接输出这个点，就是lca。否则转到第三步。

    第三步：u和v同时往上跳。同样是倒序枚举j，如果跳了之后是一样的，说明这就是个公共祖先，但是不知道是不是最近，所以不能跳；如果跳了之后不一样，那就可以放心大胆地跳了。转化成程序语言就是，如果pare[u][j]!=pare[v][j]，则u=pare[u][j], v=pare[v][j]。和倍增查找也是一样的。

    第四步：此时u和v只差一步就相遇了，输出它们的父亲就好。

    实际上倍增lca的pare数组还可以用来求i的任意j级祖先，和倍增查找的过程完全一致，这里就不再赘述了。

 

【例1 树上路径和】

给定一棵n个点的树和m次询问，每个点有一个权值，每次询问给你u,v两个点，让你求出u,v路径上每个点的权值之和

 

分析：这也是倍增LCA的模板。首先我们要知道u到v的路径是u->lca(u,v)->v。分为两条，一个是u到lca，一个是lca到v。在预处理的时候，顺便处理一个sum数组：sum[i][j]表示节点i到它的2^j级祖先路径上所有点的权值之和（不包括节点i本身），有sum[i][0]=val[fa[i]]。递推方程sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[pare[i][j-1]][j-1]。

查询操作也只需要在lca的模板上稍作修改。首先记录一个ans=val[u]+val[v]。第一步调节深度一致的时候，有u=pare[u][j]，同时在ans里累加上sum[u][j]。第二步几乎是一样的，但是要在ans里减去val[v]。第三步也是在跳的同时累加sum。第四步就把ans加上val[fa[v]]，输出最终的ans。

不过如果这题数据随机的话，暴力也是mlogn的效率。