KMP——字符串匹配的利器

默认所有字符串的下标从 $1$ 开始。

KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法，能够在 $O(|s| + |p|)$ 的时间复杂度内求出模式串 $p$ 在文本串 $s$ 中的出现次数、位置等信息。

众所周知，暴力地进行匹配（也就是对 $s$ 的每一位都进行与 $p$ 的比对）的最坏时间复杂度是 $O(|s| \times |p|)$，那么 KMP 算法是如何将时间复杂度优化这么多的呢？

从暴力的过程入手：不难发现，在匹配的过程中，有很多重复的比对。举个例子，令 $s = $ abab，$p = $ ab，当我们匹配到 $s[2]$ 时，明明已经知道它和 $p[2]$ 相等，而 $p[2] \ne p[1]$，却还是要再将 $s[2]$ 和 $p[1]$ 匹配一次。这样的例子数不胜数，放到较长的 $s$ 和 $p$ 中，浪费的资源会更多。而 KMP 算法就解决了这个问题。

先引入一个 $nxt[]$ 数组，令 $suf(i)$ 表示 $p[1 \dots i]$，即 $p$ 以第 $i$ 个字符为结尾的前缀，$nxt[i]$ 表示 $suf(i)$ 的每个前缀和后缀的最长公共元素长度。特别地，$nxt[1] = 0$。

再举例：对于 $p = $ $\texttt{abcabcd}$：

$nxt[1] = 0$
$nxt[2] = 0$
$nxt[3] = 0$
$nxt[4] = 1,(p[1] = p[4])$
$nxt[5] = 1,(p[1 \dots 2] = p[4 \dots 5])$
$nxt[6] = 3,(p[1 \dots 3] = p[4 \dots 6])$

有了 $nxt[]$，在失配之后就可以整些高大上的操作了。

再再举例： $s = \texttt{abcabcacd}, p = \texttt{abcabcd}$ 时（配对成功往后跳即可，这里只列举失配的情况）

当 $i = 7, k = 6$ 时，$s[i] \ne p[k + 1]$，让 $k = nxt[k] = 3$，此时 $s[i] = s[k + 1]$，继续匹配。

可以发现，$nxt[]$ 帮助我们跳过了 $s[3 \dots 5]$ 的再次匹配的过程，进而将匹配的时间复杂度优化到了 $O(|s|)$。

清楚了这个逻辑，不难写出匹配的代码：

int KMP(char *s, char *p) { //求解出现次数
    int res = 0, k = 0, slen = strlen(s + 1), plen = strlen(p + 1);
    for (int i = 1; i <= slen; i++) {
        while (k && s[i] != p[k + 1]) k = nxt[k]; // k==0时就不必再跳了，不然会死循环
        if (s[i] == p[k + 1]) k++;
        if (k == plen) res++;
    }
    return res;
}

接下来，难点来到了如何求解 $nxt[]$。

这里给出递推求 $nxt[]$ 的方法。

还是就着上面的例子来解释，$p = \texttt{abcabcd}$ 时：

$nxt[1] = 0$
$i = 2, k = 0, p[i] \ne p[k + 1] \Rightarrow nxt[2] = k = 0$
$i = 3, k = 0, p[i] \ne p[k + 1] \Rightarrow nxt[3] = k = 0$
$i = 4, k = 0, p[i] = p[k + 1] \Rightarrow nxt[4] = k = 1$
$i = 5, k = 1, p[i] = p[k + 1] \Rightarrow nxt[5] = k = 2$
$i = 6, k = 2, p[i] = p[k + 1] \Rightarrow nxt[6] = k = 3$
$i = 7, k = 3, p[i] \ne p[k + 1] \Rightarrow k = nxt[k] = 0, p[i] \ne p[k + 1] \Rightarrow nxt[7] = k = 0$

不难发现，$nxt[]$ 的求解过程，其实就是 $p$ 和 $p$ 的 KMP。

求解代码如下：

void getnxt(char *p) [ //求解nxt[]
    nxt[1] = 0;
    int plen = strlen(p + 1), k = 0;
    for (int i = 2; i <= plen; i++) {
        while (k && p[i] != p[k + 1]) k = nxt[k];
        if (p[i] == p[k + 1]) k++;
        nxt[i] = k;
    }
]

至此，我们便可以在 $O(|s| + |p|)$ 的时间复杂度内进行字符串匹配了～

posted @ 2022-11-13 07:55 Chy12321 阅读(29) 评论(0) 收藏举报

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