Hash——快速判断两个字符串是否相等

\(\text{Hash}\)原理

散列表（\(\text{Hash Table}\)，也叫哈希表)，是根据关键码值（\(Key~value\)）直接进行访问的数据结构。也就是说，它通过把关键码值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。

若关键码值为 \(k\)，则其值存放在 \(f(k)\) 的存储位置上。由此，不需比较便可直接取得所查记录。其中这个对应关系 \(f()\) 叫做 散列函数。

对不同的关键字可能得到统一散列地址，即 \(k_1 \ne k_2\)，而 \(f(k_1) = f(k_2)\)，这种现象称为碰撞（冲突）。

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字符串\(Hash\)

算法梗概

用以快速判断两个字符串是否相等。

\(hash[1 \dots i]\)表示字符串中首字符到第 \(i\)个字符的哈希值。

\[hash[1 \dots i] = (hash[1 \dots i-1] \times k +str[i])~\%~p \]

其中：

• \(k\) 可以取字符串元素种类，但更常取 \(31,~131\)等特殊数字。
• \(p\) 取较大的质数，保证取模后的解集合的规模尽量的大。
  也可以直接用 unsigned 型来存储，看作对 \(2^{32}\) 或 \(2^{64}\) 取模，采用这种自然溢出方法的 \(\text{Hash}\)，已经证明可以被特殊构造的字符串卡掉。

如果不放心的话可以多取几个大的质数分别取模判断，二次或多次 \(\text{Hash}\)。

性质

设 \(k\) 进制，对 \(p\) 取模，则有：

\[hash[1 \dots i] = (hash[1 \dots i-1] \times k +str[i]) ~ \% ~ p \]

即：

\[hash[1 \dots i] = (str[1]\times k^{i-1} + str[2] \times k^{i-2} + \dots + str[i-1] \times k + str[i])~\%~p \]

由此也可推出字符串从第\(i\)项到第\(j\)项的\(hash\)值为：

\[hash[i \dots j] = (str[i] \times k^{j-i} + str[i+1] \times k^{j-i-1} + \dots + str[j-1] \times k + str[j])~\%~p \]

那么如果我们已知\(hash[i \dots t] (i<t<j)\)和 \(hash[t+1 \dots j]\)，该如何求出\(hash[i \dots j]\)呢？（即字符串的合并）

\[hash[i \dots j] = ((hash[i \dots t] \times k^{j-t})~\%~p + hash[t+1 \dots j])~\%~p \]

处理完合并，在已知\(hash[1 \dots j]\)和 \(hash[1 \dots i-1]~(2<i<j)\)的情况下，又应该怎样求出\(hash[i \dots j]\)呢？（即字符串的拆分）

\[hash[i \dots j] = (hash[1 \dots j] - (hash[1 \dots i-1] \times k^{j-i+1}) ~\%~ p) ~\%~ p \]

已知两端字符长度与 \(hash\) 值，可以进行快速的合并。

已知前缀 \(hash\) 值，可以快速求出区间 \(hash\) 值。