从基础数论函数说起1：整除分块、数论函数、狄利克雷卷积
本文内容：整除分块、几种常见的数论函数和狄利克雷卷积。
整除分块
在数论相关的题中，常常会遇到带有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 求和的式子。而考虑到有很多 \(i\) ，它们的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 都是一样的（最多 \(\lfloor2\sqrt{n}\rfloor\) 个）。所以可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的时间内解决（如果剩下部分可以 \(O(1)\) 计算的话）。可以看下面的代码：
for( int x = 1, y; x <= N; x = y + 1 ) {
y = min( N / ( N / x ), M / ( M / x ) );
}
数论函数
定义
定义域为 正整数 的函数为 数论函数。
如果 \(\forall a,b，\gcd(a,b)=1\) ，有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) ，则称这个函数是 积性函数 ，如果 \(\forall a, b\) ，有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) ，则称这个函数是 完全积性函数 。
例
单位函数 \(e(n)=[n=1]\) 。（当 \([]\) 中值为真时，取值为 \(1\) ，否则为 \(0\) 。） 是完全积性函数。
幂函数 \(id_k(n)=n^k\) 。是完全积性函数。
欧拉函数 \(\phi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=1]\) 。是积性函数。
证明：
设 \(\phi(n)=n-N\) ， \(\phi(m)=m-M\) 。（即 \(n\) 不为 \(1\) 的因子有 \(N\) 个， \(m\) 不为 \(1\) 的因子有 \(M\) 个。）那么 \(nm\) 不为 \(1\) 的因子有 \(nM+mN-MN\) 个（容斥原理）。
即 \(\phi(nm)=nm-nM-mN+NM=\phi(n)\phi(m)\)
除数函数 \(\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\) 。或记为 \(d(n),\tau(n)\) ，是积性函数。
证明：
由于 \(\gcd(n,m)=1\) ，那么 \(\forall a|n, b|m\) ，都有 \(\gcd(a,b)=1\) 。那么 \(n\) 的因数乘上 \(b\) 的因数是 \(nm\) 的因数，且不会重复。所以 \(\sigma_k(n)\sigma_k(m)=\sigma_k(nm)\) 。
莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 。当 \(n\) 有平方因子的时候 \(\mu(n)=0\) 。否则 \(\mu(n)=(-1)^\omega(n)\) 。其中 \(\omega(n)\) 表示 \(n\) 不同质因子的个数。
证明平凡，略。
狄利克雷卷积（Dirichlet 卷积）
定义
两个数论函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积定义为
也可以写成这样：
性质
交换律： \(f*g=g*f\) 。
结合律： \((f*g)*h=f*(g*h)\) 。
单位函数为单位元： \(f*e=f\) 。
分配律： \(f*(g+h)=f*g+f*h\)
当 \(f\) 和 \(g\) 都为积性函数时 \(f*g\) 也为积性函数。反过来， 若 \(h=f*g\) 为积性函数， \(f\) 为积性函数，那么 \(g\) 也为积性函数。
证明：
前面已经提到了，如果有 \(\gcd(n,m)=1,a|n,b|m\) ，那么 \(\gcd(a,b)=1\) 。
\[\begin{aligned} (f*g)(n)\times (f*g)(m) &= \sum\limits_{i_1j_1=n}f(i_1)g(j_1)\times \sum\limits_{i_2j_2=m}f(i_2)g(j_2)\\ &= \sum\limits_{i_1i_2j_1j_2=nm}f(i_1)f(i_2)g(j_1)g(j_2)\\ &= \sum\limits_{ij=nm}f(i)g(j)\\ &= (f*g)(n) \end{aligned} \]
两个等式
证明：略
证明：
若 \(n\) 有 \(k\) 个不同的质因子，那么
\[\sum\limits_{d|n} \mu(d) = \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i \times {k\choose i} \]根据二项式定理， \((1-1)^k= \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i \times {k\choose i}=0^k\)
而由于 \(\mu(1)=1\) ，所以 \(\mu * 1=e\)
