概率论(离散型)极简入门

古典概型

定义
\[ P(A)=\frac{m}{n} \]
m:A包含的基本事件数。

n:总基本事件数

基本事件:样本空间中不可再分的最小事件。

符号

\(\Omega\)表示样本空间。$\Phi \(表示不可能事件。\)\overline {A}\(表示\)A\(事件的对立面,\)AB\(表示事件\)A$ 和 \(B\) 同时发生。

几个公式
\[ P(A)=1-P(\overline A) \]
说明:事件\(A\)发生的概率就是\(1-\)事件\(A\)的对立事件发生的概率。
\[ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) \]
说明:事件\(A\)\(B\)发生的概率是事件\(A\)发生的概率加上事件\(B\)发生的概率减去事件\(A\)\(B\)同时发生的概率。(容斥原理)
\[ P(A_1+A_2+...+A_n)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\sum_{1\leqslant i < j \leqslant n} P(A_iA_j)+\sum_{1\leqslant i<j<k\leqslant n} P(A_iA_jA_k)...+(-1)^{n-1}P(\Pi_{i=1}^nA_i) \]
说明:为上一条的推广,同样是容斥原理。

如果\(A\)\(B\)互不相容(\(AB=\Phi\)),那么\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)

说明:为第一条的特殊情况。因为\(A\)\(B\)互不相容,所以\(P(AB)\)\(0\)

如果\(A\)\(B\)相互独立,那么\(P(AB)=P(A)\times P(B)\)

条件概率

\(P(B|A)\)表示\(A\)发生的情况下,\(B\)发生的概率。

显然,我们有:
\[ \begin{aligned} P(AB) &= P(A)P(B|A)\\ &=P(B)P(A|B) \end{aligned} \]
等价于
\[ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} \]
如果\(A\)\(B\)相互独立,那么
\[ \begin{aligned} & P(AB)=P(A)P(B) \\ \Leftrightarrow & P(A|B)=P(A) \\ \Leftrightarrow & P(B|A)=P(B) \end{aligned} \]

全概率公式

完备事件组

完备事件组是这样一组事件\(A_i(i=1...n)\)
\[ \bigcup_{i=1}^nA_i=\Omega,\forall i \neq j, A_iA_j=\Phi \]
简而言之,完备事件组就是对样本空间的一个划分。

全概率公式

在完备事件组\(A_i\)下,有全概率公式:
\[ P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i) \]
感性理解即可。

逆概率公式

\[ P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum P(A_i)P(B|A_i)} \]

这个感觉不好理解,但是挺有用的。

伯努利概型

\(n\)次独立重复实验,如果事件\(A\)发生的概率为\(p\),那么事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率是
\[ P_n(k)={n \choose k}p^k(1-p)^k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n) \]

随机变量

我们给一个事件\(\omega \in \Omega\)赋值为\(X(\omega)\)(简写为\(X\)),那么\(X\)就是随机变量。

分布列

\(X\) \(x_1\) \(x_2\) \(\cdots\) \(x_n\)
\(P\) \(p_1\) \(p_2\) \(\cdots\) \(p_n\)

分布律

\(P(X=x_i)=p_i\)

显然,有\(p_i\geqslant 0, \sum p_i=1\)

分布函数
\[ F(X)=P(x \leqslant X) \]

一些离散变量的分布

二项分布\(X\sim B(n,p)\)
\[ P(x=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,...,n)$ \]
两点分布:两点分布是二项分布\(n =1\)的情况。

泊松分布\(X\sim \Pi(\lambda)\)
\[ P(x=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k=0,1,2,...) \]
泊松分布适用于稀疏概率事件。

几何分布\(X\sim G(p)\)

实验恰好在第\(k\)次第一次成功的概率(前\(k-1\)次失败)。
\[ P(x=k)=(1-p)^{k-1}p \]
超几何分布\(X\sim H(n, N_1, N)\)
\[ P(x=k)=\frac{{N_1 \choose k}{N-N_1 \choose n - k}}{N \choose n} \,\,\,\,\,\,\,\,\, k=0,1,...,min(n,N1) \]
超几何分布可以这样理解:从\(N\)个黑色(\(N_1\)个)或白色的球中随机抽取\(n\)个球恰有\(k\)个为黑的概率。当\(N\gg n\)时,近似于二项分布。

随机变量的数字特征

数学期望

由于数学期望涉及级数的问题,这里不过多解释。

二项分布\(E(x)=np\)

两点分布\(E(x)=p\)

泊松分布\(E(x)=\lambda\)

几何分布\(E(x)=\frac{1}{p}\)

期望的一些公式:
\[ E(x)=\sum x_ip_i\\ E(c)=c\\ E(kx+b)=kE(x)+b\\ E(x\pm y)=E(x)\pm E(y) \\ E[f(x)]=\sum f(x_i)p_i \]
如果\(x\),\(y\)独立,还有\(E(xy)=E(x)E(y)\)

方差

方差\(D(x)=E[(x-E(x))^2]=E(x^2)-(E(x))^2=\sum x_i^2p_i - (\sum x_i p_i) ^2\)

二项分布\(D_x=np(1-p)\)

泊松分布\(D_x=\lambda\)

几何分布\(D_x=\frac{1-p}{p^2}\)

方差性质\(D(c)=0\)\(D(x+c)=D(x)\)\(D(cx)=c^2D(x)\)\(D(x\pm y)=D(x)+D(y)\)\(D(x)=0\Leftrightarrow P(x=c)=1\)

posted @ 2019-09-05 20:53 chy_2003 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏