快速傅里叶变换FFT
前言
听说FFT是个很有用的东西，于是本菜鸡就去背了模板尝试着看了一下。这里写下菜鸡版教程。
卷积
FFT主要用于求卷积。然而卷积是什么？
如果\(f\)是一个\(n\)次多项式，\(g\)是\(m\)次多项式，那么它们的卷积
我们冷静分析一波，发现这就是个多项式乘法……
一般情况下，求卷积的时间复杂度是\(O(n^2)\)的。我们尝试加速这一过程。
点值表达与离散傅里叶变换
一般的，一个多项式可以表示为
这叫系数表示。
而一个\(n\)次多项式可以由\(n+1\)个互不相同的\((x,A(x))\)唯一确定，其中
叫做点值表示。
然后我们发现，点值表达有一个非常厉害的地方（\(A\)是\(n\)次多项式，\(B\)是\(m\)次多项式）：
也就是说，我们可以在\(O(n)\)的时间内求出两个点值表达式相乘的结果！这可比先前的\(O(n^2)\)快了不少。
于是我们就想利用点值表达的这一特性来加速卷积过程。思路也很明显了：先将系数表示通过离散傅里叶变换（DFT）变成点值表示，求出乘积后，通过逆离散傅里叶变换（IDFT）转回系数表示。但是怎么进行DFT和IDFT呢？现在看来都是\(O(n^2)\)的……（IDFT通过拉格朗日插值实现，高斯消元是\(O(n^3)\)的）
单位复根
DFT的过程能降到\(O(n\log n)\)全靠单位复根。
\(n\)次单位复根是\(n\)个互不相同的\(\omega^n=1\)的复数。它们在复平面中的位置恰好将单位圆\(n\)等分。它们分别是\(\omega_n^t=\cos \frac{2\pi t}{n}+i\sin\frac{2\pi t}{n}\)，\(t=0,1,...,n-1\)。
\(n=8\)时差不多长这样：
结合图像，我们能得到一些显而易见的性质：
然后我们就可以尝试DFT了。
DFT
接下来，我们令\(A\)是一个\(n\)次多项式，\(\deg A=n+1\)。不妨将\(\deg A\)扩充到\(2\)的幂次。
要将\(A\)转成点值表示，我们需要取\(\deg A\)个值。
现在，我们要求\(\overrightarrow{y}=(A(\omega_n^0),A(\omega_n^1),...,A(\omega_n^{n-1}))^T\)。
令\(A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2)\)（奇偶次项分开），我们可以得到：
所以求出
后就可以在\(O(n)\)时间内求出\(\overrightarrow{y}\)。这样的时间复杂度是\(O(n\log n)\)的。
IDFT
有了\(\overrightarrow{y}\)，求\(A\)的过程叫IDFT。我们现在令\(A\)的系数组成向量\(\overrightarrow a\)。
该过程即解方程
左边的系数矩阵是\(n\)阶的范德蒙德矩阵\(V_n\)。现在我们尝试求出\(\overrightarrow{a}=V_n^{-1}\overrightarrow {y}\)。
我们构造
那么
而由于\(j-i\in\{-n+1,n-1\}\)，所以当\(i=j\)时，\((D_nV_n)_{i,j}=n\)，否则\((D_nV_n)_{i,j}=\frac{1-(\omega_n^{j-i})^n}{1-\omega_n^{j-i}}=0\)。
也就是说
所以
而我们发现DFT的过程实际上就是求
所以只需要把DFT时\(V_n\)中的\(\omega_n^i\)换成\(\omega_n^{-i}\)即可(取虚部为相反数)。最后别忘了乘上\(\frac{1}{n}\)。
到此为止，已经可以写出递归版的FFT了。不过递归版的FFT常数比较大。我们来看进一步的优化：
蝴蝶操作
DFT时，我们要将系数奇偶分开。考虑递归过程中系数的变化：
发现什么了吧。
我们可以先将系数放到对应的位置，然后从下往上一步步合并就可以了。
参考代码
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define LD long double
using namespace std;
const int Maxn = 4000010;
const LD Pi = 3.14159265358979323846264;
struct myComplex {
LD real, imag;
myComplex operator + ( const myComplex Other ) const {
return ( myComplex ) { real + Other.real, imag + Other.imag };
}
myComplex operator - ( const myComplex Other ) const {
return ( myComplex ) { real - Other.real, imag - Other.imag };
}
myComplex operator * ( const myComplex Other ) const {
return ( myComplex ) { real * Other.real - imag * Other.imag, real * Other.imag + imag * Other.real };
}
};
int n, m, TotalLen, N;
int Index[ Maxn ];
myComplex omega[ Maxn ], A[ Maxn ], B[ Maxn ];
void FFT( myComplex *A ) {
for( int i = 0; i < N; ++i )
if( i < Index[ i ] )
swap( A[ i ], A[ Index[ i ] ] );
for( int HalfLen = 1; HalfLen < N; HalfLen <<= 1 )
for( int i = 0; i < N; i += HalfLen << 1 )
for( int j = 0; j < HalfLen; ++j ) {
myComplex t = omega[ ( N / HalfLen / 2 ) * j ] * A[ i + j + HalfLen ];
myComplex T = A[ i + j ];
A[ i + j ] = T + t;
A[ i + j + HalfLen ] = T - t;
}
return;
}
int main() {
scanf( "%d%d", &n, &m );
++n; ++m; TotalLen = n + m - 1;
for( int i = 0; i < n; ++i ) scanf( "%Lf", &A[ i ].real );
for( int i = 0; i < m; ++i ) scanf( "%Lf", &B[ i ].real );
for( N = 1; N <= TotalLen; N <<= 1 );
for( int i = 0; i < N; ++i )
Index[ i ] = ( Index[ i >> 1 ] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) * N / 2 );
for( int i = 0; i < N; ++i )
omega[ i ] = ( myComplex ) { cos( 2.0 * Pi * i / N ), sin( 2.0 * Pi * i / N ) };
FFT( A ); FFT( B );
for( int i = 0; i < N; ++i ) A[ i ] = A[ i ] * B[ i ];
for( int i = 0; i < N; ++i ) omega[ i ].imag = -omega[ i ].imag;
FFT( A );
for( int i = 0; i < TotalLen; ++i ) printf( "%d ", ( int ) ( A[ i ].real / N + 0.5 ) );
printf( "\n" );
return 0;
}
