洛谷 P2181 对角线 全面分析

对于一个 \(n\) 个顶点的凸多边形，它的任何三条对角线都不会交于一点。请求出图形中对角线交点的个数。

练python刷简单题刷到了这个，挺有趣的一道题目。

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对于一个 \(n\) 边形，选任意一个点A可以引出\(n-3\)条对角线。相邻的点B再引出\(n-3\)条线，分别与前者有\(1,2 ... n-3\)个交点。与B相邻且不与A相邻的C引出\(n-4\)条线，交A引出的对角线有\(1,2 ... n-4\)个交点，B亦然。

有一篇论文介绍得十分详细 链接

故结果应为\(\sum\limits^{n-3}_{i=1}(i*\sum\limits^{n-2-i}_{j=1})\quad= \quad\sum\limits^{n-3}_{i=1}i*\frac{(n-i-1)(n-i-2)}{2}\)

代码如下

n=int(input())
ans=0
i=1
while True :
    ans+=i*(n-(2+i))*(n-(1+i))//2
    if n-(1+i)<=2 :
        break
    i+=1
print(ans)

此方法可以解决这个问题，时间复杂度\(O(n)\)

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我暂时不会对上述和式求和，但推测通项可能是或四次的。故希望能\(O(1)\)解决这个问题。

令\(f(n)=\sum\limits^{n-3}_{i=1}\frac{(n-i-1)(n-i-2)}{2}\) 易知\(f(3)=0,f(4)=1,f(5)=5,f(6)=15,f(7)=35\)
构建范德蒙德矩阵

\[V=vander(\begin{bmatrix}3&4&5&6&7\end{bmatrix}) \]

\[V*\vec A=\begin{bmatrix}0&1&5&15&35\end{bmatrix}^T \]

\[\vec A=\begin{bmatrix}\frac{1}{24}&-\frac{1}{4}&\frac{11}{24}&-\frac{1}{4}&0\end{bmatrix}^T \]

验证\(n>=8\)，成立。则

\[f(n)=[n^4\quad n^3\quad n^2 \quad n\quad1]\vec A \]

使用matlab计算这个问题

>> format rat
>> V=vander([3 4 5 6 7]);
>> inv(V)*[0;1;5;15;35]

ans =

       1/24    
      -1/4     
      11/24    
      -1/4     
      -1/25588634246423

所以代码为此简单的三行

a=int(input())
a=a*a*a*a-a*a*a*6+a*a*11-a*6
print(a//24)

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实际上，用组合数学的方法，我们知道，每四个不同的顶点有一个交点，答案即是\(C^{4}_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\)与以上结果相同。