图 生成树
图为什么会有生成树？图不是顶点和边的集合吗？顶点确定了，边也确定了，这个图不就固定了吗？
你提出的这个问题非常好，它触及了图的结构和生成树的核心概念。的确，图是由顶点（节点）和边（连接节点的线）组成的，它是一个固定的结构。但是，生成树是一个图中的特定子结构，并不是说图本身就自然地包含生成树。下面我将详细解释图和生成树之间的关系。
图和生成树的关系
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图是固定的结构：
图是由顶点集合和边集合组成的。每一条边是连接两个顶点的，因此图的结构是由这些元素（顶点和边）决定的。对于一个给定的图，顶点和边是已经确定的。图的定义是一个静态的结构，它表示了节点和它们之间的连接。 -
生成树是图的一个子集：
生成树不是图的一部分，而是从图中提取出来的一个子结构。一个 生成树 是图中所有顶点的一个子图，但它的边数是 n-1，其中 n 是图中顶点的数量。生成树通过选择图中一部分边，保持连通性且没有环，来形成一个树状结构。图与生成树的区别：
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图可能包含多个环，可能有很多条边。
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生成树没有环，是一个树状结构，且每个生成树包含的边数量固定为 n-1 条，其中 n 是图的顶点数量。
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为什么图可以有生成树？
生成树的存在并不是由图的具体结构决定的，而是通过选择图中的一部分边来构造一个新的结构。这是因为 树 的定义本身就要求是 连通的且无环的，而图作为一个包含多个边的结构，可以通过删除部分边来满足这一要求。简单来说，生成树是从图中通过删除一些边形成的。具体来说：
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如果图是连通的（即任意两个顶点之间都有路径相连），则它一定有生成树。
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生成树所包含的边 n-1 条是图中所有可能边的一个子集，且这些边的选择是为了保证图中所有顶点都在生成树中，并且没有环。
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为什么生成树是唯一的？
一个图的 生成树不一定是唯一的。实际上，一个连通图可以有 多个不同的生成树。这取决于选择的边的不同。例如，对于一个简单的三角形图，生成树可以选择任意两条边，而不选择第三条边。不同的边组合会得到不同的生成树。
图的生成树的生成过程
在一个给定的图中，生成树可以通过不同的算法生成。常见的生成树算法包括：
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Prim 算法：从一个节点开始，逐步将最小的边加入树中，直到所有节点都被包含。
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Kruskal 算法：将所有边按权重排序，然后逐步选择最小的边加入生成树，确保不会形成环。
这两个算法都能生成一个 最小生成树，即边权和最小的生成树。
生成树的存在条件
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连通图：图必须是连通的，即任意两个顶点之间都有路径连接，否则不能生成一个包含所有顶点的生成树。
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无向图：因为生成树是无向图中的子图，在有向图中则需要特殊处理。
生成树的应用
生成树广泛应用于很多实际问题，特别是在网络设计、通信、计算机网络优化等领域：
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最小生成树（MST）：最小生成树是加权图的生成树，要求生成树的边权和最小。用于最小化网络中连接所有节点的总成本。
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网络布局：用于找到网络连接的最短路径，以最少的成本连接所有的节点（如电话网络、电力网等）。
总结
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图本身是由固定的顶点和边构成的，但图中的生成树是一个通过选择图中部分边来构造的子结构，它满足 连通性 和 无环性 的要求。
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生成树可以有多个，但每个生成树都会包含所有顶点，且其边数是 n-1。
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生成树的构建通常是通过一些算法来实现，比如 Prim 算法 或 Kruskal 算法。
图的生成树提供了一种将复杂图形结构简化为树形结构的方法，这在优化、设计和计算中有很多实际应用。
好的，我们将使用普里姆（Prim）算法，以顶点 a 为起点，来找出这个连通图的最小生成树（MST）。
普里姆算法简介
普里姆算法是一种贪心算法，用于在加权连通图中寻找最小生成树。其基本思想是：
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初始化：选择一个起始顶点，并将其放入一个集合
U中，该集合表示已经包含在最小生成树中的顶点。 -
循环：重复以下步骤，直到所有顶点都进入集合
U中。-
在所有连接集合
U内的顶点与集合U外的顶点的边中，找到一条权值最小的边。 -
将这条权值最小的边加入最小生成树，并将该边所连接的
U外的顶点加入集合U。
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计算过程
给定的图信息：
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顶点(Vertices): {a, b, c, d, e, f, g}
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边(Edges)和权重(Weights):
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ad(9), ab(2), af(5), bf(8), fg(1), bg(4), cg(6), bc(7), ec(10), be(3), bd(1), de(2)
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以 a 为起点，逐步构建最小生成树：
初始状态:
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已选顶点集合
U= {a} -
最小生成树边集合
T= {} -
总权重 = 0
第 1 步:
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从集合
U= {a} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。 -
候选边：(a, b) 权重 2，(a, f) 权重 5，(a, d) 权重 9。
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选择 (a, b)，因为它的权重最小。
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操作:
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将顶点
b加入U。现在U= {a, b}。 -
将边
(a, b)加入T。 -
总权重 = 2。
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第 2 步:
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从集合
U= {a, b} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。 -
候选边 (忽略已连接到
U内顶点的边):-
从 a: (a, f) 权重 5, (a, d) 权重 9
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从 b: (b, d) 权重 1, (b, e) 权重 3, (b, g) 权重 4, (b, c) 权重 7, (b, f) 权重 8
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在所有候选边中，(b, d) 的权重最小。
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操作:
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将顶点
d加入U。现在U= {a, b, d}。 -
将边
(b, d)加入T。 -
总权重 = 2 + 1 = 3。
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第 3 步:
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从集合
U= {a, b, d} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。 -
候选边:
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从 a: (a, f) 权重 5
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从 b: (b, e) 权重 3, (b, g) 权重 4, (b, c) 权重 7, (b, f) 权重 8
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从 d: (d, e) 权重 2
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在所有候选边中，(d, e) 的权重最小。
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操作:
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将顶点
e加入U。现在U= {a, b, d, e}。 -
将边
(d, e)加入T。 -
总权重 = 3 + 2 = 5。
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第 4 步:
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从集合
U= {a, b, d, e} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。 -
候选边:
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从 a: (a, f) 权重 5
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从 b: (b, g) 权重 4, (b, c) 权重 7, (b, f) 权重 8
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从 d: (无新的边)
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从 e: (e, c) 权重 10
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在所有候选边中，(b, g) 的权重最小。
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操作:
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将顶点
g加入U。现在U= {a, b, d, e, g}。 -
将边
(b, g)加入T。 -
总权重 = 5 + 4 = 9。
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第 5 步:
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从集合
U= {a, b, d, e, g} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。 -
候选边:
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从 a: (a, f) 权重 5
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从 b: (b, c) 权重 7, (b, f) 权重 8
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从 e: (e, c) 权重 10
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从 g: (g, f) 权重 1, (g, c) 权重 6
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在所有候选边中，(g, f) 的权重最小。
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操作:
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将顶点
f加入U。现在U= {a, b, d, e, g, f}。 -
将边
(g, f)加入T。 -
总权重 = 9 + 1 = 10。
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第 6 步:
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从集合
U= {a, b, d, e, g, f} 出发，寻找连接到集合外顶点的权值最小的边。此时只剩下顶点c不在集合中。 -
候选边:
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从 b: (b, c) 权重 7
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从 e: (e, c) 权重 10
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从 g: (g, c) 权重 6
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在所有候选边中，(g, c) 的权重最小。
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操作:
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将顶点
c加入U。现在U= {a, b, c, d, e, f, g}。 -
将边
(g, c)加入T。 -
总权重 = 10 + 6 = 16。
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算法结束:
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所有顶点都已包含在集合
U中，最小生成树构建完成。
最终结果
该连通图的最小生成树包含以下几条边：
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a — b (权重 2)
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b — d (权重 1)
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d — e (权重 2)
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b — g (权重 4)
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g — f (权重 1)
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g — c (权重 6)
最小生成树的总权重为：16。
INF (无穷大) = 32767
--- 处理图 1 (顶点 A-G) ---
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Prim 算法结果 (从顶点 A 开始):
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当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (B, A)，权重: 2
* 边 (D, A)，权重: 9
* 边 (F, A)，权重: 5
--- 步骤 1.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 B，最小权重: 2 ---
--- 步骤 1.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 B) ---
* 检查顶点 V-U 中的 C：新边 (B,C) 权值 7 < 旧边 (A,C) 权值 INF，**更新** lowcost[C]=7，closest[C]=B。
* 检查顶点 V-U 中的 D：新边 (B,D) 权值 1 < 旧边 (A,D) 权值 9，**更新** lowcost[D]=1，closest[D]=B。
* 检查顶点 V-U 中的 E：新边 (B,E) 权值 3 < 旧边 (A,E) 权值 INF，**更新** lowcost[E]=3，closest[E]=B。
* 检查顶点 V-U 中的 F：新边 (B,F) 权值 8 >= 旧边 (A,F) 权值 5，**不更新**。
* 检查顶点 V-U 中的 G：新边 (B,G) 权值 4 < 旧边 (A,G) 权值 INF，**更新** lowcost[G]=4，closest[G]=B。
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当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (C, B)，权重: 7
* 边 (D, B)，权重: 1
* 边 (E, B)，权重: 3
* 边 (F, A)，权重: 5
* 边 (G, B)，权重: 4
--- 步骤 2.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 D，最小权重: 1 ---
--- 步骤 2.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 D) ---
* 检查顶点 V-U 中的 C：新边 (D,C) 权值 INF >= 旧边 (B,C) 权值 7，**不更新**。
* 检查顶点 V-U 中的 E：新边 (D,E) 权值 2 < 旧边 (B,E) 权值 3，**更新** lowcost[E]=2，closest[E]=D。
* 检查顶点 V-U 中的 F：新边 (D,F) 权值 INF >= 旧边 (A,F) 权值 5，**不更新**。
* 检查顶点 V-U 中的 G：新边 (D,G) 权值 INF >= 旧边 (B,G) 权值 4，**不更新**。
---------------------------------------------------------
当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (C, B)，权重: 7
* 边 (E, D)，权重: 2
* 边 (F, A)，权重: 5
* 边 (G, B)，权重: 4
--- 步骤 3.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 E，最小权重: 2 ---
--- 步骤 3.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 E) ---
* 检查顶点 V-U 中的 C：新边 (E,C) 权值 10 >= 旧边 (B,C) 权值 7，**不更新**。
* 检查顶点 V-U 中的 F：新边 (E,F) 权值 INF >= 旧边 (A,F) 权值 5，**不更新**。
* 检查顶点 V-U 中的 G：新边 (E,G) 权值 INF >= 旧边 (B,G) 权值 4，**不更新**。
---------------------------------------------------------
当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (C, B)，权重: 7
* 边 (F, A)，权重: 5
* 边 (G, B)，权重: 4
--- 步骤 4.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 G，最小权重: 4 ---
--- 步骤 4.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 G) ---
* 检查顶点 V-U 中的 C：新边 (G,C) 权值 6 < 旧边 (B,C) 权值 7，**更新** lowcost[C]=6，closest[C]=G。
* 检查顶点 V-U 中的 F：新边 (G,F) 权值 1 < 旧边 (A,F) 权值 5，**更新** lowcost[F]=1，closest[F]=G。
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当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (C, G)，权重: 6
* 边 (F, G)，权重: 1
--- 步骤 5.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 F，最小权重: 1 ---
--- 步骤 5.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 F) ---
* 检查顶点 V-U 中的 C：新边 (F,C) 权值 INF >= 旧边 (G,C) 权值 6，**不更新**。
---------------------------------------------------------
当前 V-U 集合中的候选边 (lowcost > 0 且 < INF):
* 边 (C, G)，权重: 6
--- 步骤 6.a: 查找 V-U 中 lowcost 最小的顶点 (min_cost 初始为 INF) ---
--- 查找完成：选取顶点 C，最小权重: 6 ---
--- 步骤 6.b: 更新 lowcost 和 closest (新加入顶点 C) ---
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最小生成树的总权重: 16
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