离散数学P2 Induction

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Proof by Contradiction

To prove P is true, We assume P is false，

and then you use that hypothesis to derive

a falsehood or contradiction.

Proof by contradiction（反证法）是一种在离散数学、逻辑和数学证明中常用的推理方法。它的核心思路是：假设命题为假，推导出矛盾，从而说明原命题为真。

1. 形式定义（定义式）

给定命题 $P$，我们想证明 $P$ 成立。

Proof by contradiction 的步骤是：

1. 假设 $\neg P$（也就是 $P$ 不成立）

2. 从 $\neg P$ 出发，结合已知事实，进行推理

3. 推出一个逻辑矛盾（比如 $Q\wedge \neg Q$，或违反定义、公理等）

4. 因为假设 $\neg P$ 导致矛盾，所以假设不成立

5. 结论：$P$ 必须为真

An irrational number is a real number that cannot be expressed as a ratio of two integers, i.e., it cannot be written in the form ab\frac{a}{b}ba​ where $a$, $b\in \mathbb{Z}$, b≠0b \ne 0b=0.

Equivalently, its decimal expansion is infinite and non-repeating.

A fraction in least terms (or lowest terms, or simplest form) is a fraction where the numerator and denominator have no common factors other than 1.

✅ 3. 举例说明

命题： 2\sqrt{2}2​ 是无理数。

✅ Proof by contradiction:

1. 假设反面：sqrt{2}​ 是有理数

2. 则 sqrt{2} = \frac{a}{b}​，其中 a,b 是互质整数（分数最简）

3. 两边平方：2=a^2/b^2 ⇒a^2=2b^2

4. 所以 a^2是偶数 ⇒ a 是偶数 ⇒ a=2k

5. 代入得 (2k)^2=2b^2⇒4k^2=2b^2⇒b2=2k^2 ⇒ b 也是偶数

6. 所以 a, $b$ 都是偶数，矛盾（因为我们假设 a,b 互质）

因此，假设错误，结论：

sqrt{2}​ 是无理数 

 

✅ 正命题 vs 逆命题 vs 逆否命题

给定一个命题：

• 原命题（implication）：                                               
    P ⇒ Q                  （如果 P，则 Q）

• 逆命题（converse）：                                            
    Q ⇒ P                  （如果 Q，则 P）
    ⟶ 不等价，不能从原命题推出（除非双条件成立）

• 否命题（inverse）：                                          
    ¬P ⇒ ¬Q          （如果非 P，则非 Q）
    ⟶ 也不等价于原命题

• 逆否命题（contrapositive）：                              
    ¬Q ⇒ ¬P          （如果非 Q，则非 P）
    ⟶ ✅ 与原命题 等价

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✅ 举个例子

命题：
P ⇒ Q
P: “你是狗”
Q: “你是动物”

• 原命题：如果你是狗 ⇒ 你是动物 ✅

• 逆命题：如果你是动物 ⇒ 你是狗 ❌（不一定成立）

• 否命题：如果你不是狗 ⇒ 你不是动物 ❌

• 逆否命题：如果你不是动物 ⇒ 你不是狗 ✅（等价于原命题）

✅ 结论

你提到的：

$P\Rightarrow Q$ 与 $\neg Q\Rightarrow \neg P$ 等价

✔ 这就是在说“一个命题与它的逆否命题等价”，这是逻辑推理中的基本原理之一，也是反证法的理论基础。

 

 

Induction axiom

let P(n) be a predicate, if P(0) is true and 

for all natural numbers P(n)->P(n+1) is true

then for all P(n) is true

Mathematical induction（数学归纳法）是一种用于证明自然数范围内命题的方法。它的核心思想是：

如果你能证明一个命题对最小的数（通常是 0 或 1）成立，
并且还能证明：假设它对某个整数 $n$ 成立 ⇒ 它对 $n+1$ 也成立，
那么这个命题就对所有 $\ge$ 起始值 都成立。

用induction证明了1+2+...+n=(1+n)n/2

以及n^3-n是3的倍数

 

Base Case: P(b) is true

Inductive Step: for all n>=b, P(n)->P(n+1)

Conclude: for all n>=b, P(n) is true

 

归纳法证明n匹马都是一个颜色

这是一个非常经典的“伪命题归纳法”例子，用来说明归纳法在使用中必须格外小心：

命题： 对所有正整数 $n$，任意 $n$ 匹马都具有相同的颜色。

这个命题是错误的，但如果你按照形式归纳法的模板操作，看起来好像可以“被证明”——这是一个常被用来讲解“归纳陷阱”的例子。

❌ 关键错误：从 $k=1$ 到 $k=2$ 的时候，两个集合没有交集

• H1H_1H1​：第一匹马

• H2H_2H2​：第二匹马
  两匹马之间没有重合的马作为“桥梁”

所以在 $k=2$ 的归纳步骤中：

• {H1}\{H_1\}{H1​}：颜色未知

• {H2}\{H_2\}{H2​}：颜色未知
  你不能说它们颜色一样。

 

边长为 2n2^n2n 的正方形，中间固定缺一个小方格，其余用 L 形砖（即 2×2 少一个角）铺满。

这是经典的中心缺口 L 砖铺法（center-defect L-tromino tiling）问题。

n=2 边长为4，面积为16，应该是5*3+1，5个L形+1个空格

1

1

2

2

1

C

C

2

3

C

×

4

3

3

4

4

 

× 缺失格子

 

C 中心L形骨牌

 

1 左上角L形骨牌

 

2 右上角L形骨牌

 

3 左下角L形骨牌

 

4 右下角L形骨牌

归纳法证明思路：

基本思想：将4×4棋盘分成四个2×2的子棋盘。由于缺失格子在右下角的2×2区域中，我们在中心位置放置一个L形三骨牌（粉色C），使得其他三个2×2区域各缺失一个格子。

递归处理：现在每个2×2区域都缺失一个格子，可以用一个L形三骨牌完全覆盖。这样总共用了5个L形三骨牌完成了整个4×4棋盘的覆盖。

一般化：这个方法可以推广到任意2ⁿ×2ⁿ大小的棋盘，无论缺失格子在哪个位置。

 

 

把中心缺口问题，转换为任意地方缺口，就变简单了

这个推广的意义在于证明了一个更强的结果：不管在2^n × 2^n棋盘的哪个位置去掉一个格子，剩余的部分都可以用L形三骨牌完全覆盖。这比原来只考虑特定位置（如角落）的情况更加一般和有力。

归纳证明的关键思想是：将大棋盘分成四个小棋盘，通过巧妙地放置一个L形三骨牌来统一处理四个子问题。

L型铺砖问题（L-Tromino Tiling Problem）
在一个 2n×2n2^n \times 2^n2n×2n 的正方形中，任意去掉一个小格（缺口），用 L 形 tromino（2×2 正方形去掉一角）铺满剩余区域。

 

 

✅ 4. 归纳结构统一说明

任意缺口铺砖的归纳法：

• Base case: $2\times 2$ 的正方形，缺一格，铺一块 L 型砖 ✅

• Inductive Hypothesis: 所有 2k×2k2^k \times 2^k2k×2k 的棋盘，任意缺口都能铺

• Inductive Step: 把 2k+1×2k+12^{k+1} \times 2^{k+1}2k+1×2k+1 划分为四个 2k×2k2^k \times 2^k2k×2k 子棋盘：

  • 缺口落在某个子棋盘中

  • 在中央交界处放一块 L 型砖，人为制造出其他三个子棋盘的缺口

  • 所有子棋盘都满足归纳条件

 

 

✅ 典型问题设定（Beaver Flu Model）

在一个图中，每个节点是一个学生，每条边表示两人之间有接触。

初始时有一个学生感染了“Beaver Flu”，规则如下：

• 若某学生至少两个邻居感染了，他第二天也会感染。

• 每天按照这个规则更新一次。

**问题：**给定图结构和初始感染状态，是否最终所有人都会被感染？

 

(2^n)^2-1是3的倍数,即2^(2n)-1是3的倍数，相当于2^2n除以3余数是1

Base Case:n=1, 4-1=3

Inductive Step:Assume 2^(2n)-1是3的倍数为真，即2^2n除以3，余数是1

那么需要得到2^(2(n+1))-1也是3的倍数

2^(2(n+1))-1=2^(2n+2)=4倍的2^2n。因为2^2n除以3余数是1，那么4倍的2^2n除以3余数是4， 4再除以3，余数是1

所以n+1的时候，也成立