离散数学 proof proposition implication axiom

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A proof is a method for ascertaining the truth.

A mathematical proof is a verification of a proposition by a chain of logical deductions from a set of axioms.

A proposition is a statement that is either true or false.

An implication p->q is true if p is false or q is true.

在离散数学中，命题逻辑中的 “p → q”（如果 p，那么 q）称为条件命题或蕴含，其真值由 p 和 q 的真假共同决定。

implication 在逻辑中的定义：

在命题逻辑中，implication 是一种二元逻辑连接词，用来表达一个条件关系：
“如果 p 为真，那么 q 必须为真。”

形式写作：

p→q

读作：“p implies q”，也可以读作：

• “If p, then q”

• “p 是 q 的充分条件”

🧠 几个相关术语：

表达形式	名称	中文解释
p → q	implication	蕴含、条件命题
p	antecedent	前件（假设、前提）
q	consequent	后件（结果、结论）
¬p ∨ q	implication 的等价形式	与 p → q 逻辑等价

 

📘 “p → q” 的真值表

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

📌 四种情况解释：

情况	说明	结果
p=T, q=T	说“如果 p，就 q” → 果然如此	✅ 成立
p=T, q=F	说“如果 p，就 q”，但 q 没发生 → 被打脸	❌ 不成立
p=F, q=T	前提没发生，说什么都可以 → 没破坏逻辑	✅ 成立
p=F, q=F	前提没发生，q 也没发生 → 没有逻辑冲突	✅ 成立

🧠 思维小贴士：

• 想成一句话：“如果下雨（p），我就带伞（q）”

  • 不下雨（p=F）你带不带伞都不会违背原话

  • 只有下雨了你没带伞（p=T, q=F）才算违背承诺

 

“下雨就带伞”这个例子可以非常清楚地说明充分条件与必要条件的区别。

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🎯 首先，先把逻辑关系写出来：

假设：

• p：下雨

• q：带伞

命题：“如果下雨，就带伞” → 逻辑表达为：

$$p\to q$$

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📌 一、“p 是 q 的充分条件”

“下雨” 是 “带伞” 的充分条件
即：只要下雨（p 为真），我就一定会带伞（q 为真）。

但带伞不一定说明是因为下雨，比如天气预报说可能下雨、我要遮阳等。

✅ 所以：

• p 为真 → q 一定为真

• 但 q 为真时，p 不一定为真

• ∴ p 是 q 的 充分条件（够用，但不是唯一）

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📌 二、“q 是 p 的必要条件”

“带伞” 是 “下雨” 的必要条件
意思是：下雨了就必须带伞，否则就违背命题。

但你也可以没下雨也带伞（所以“带伞”不能推出“下雨”）

 

充要条件的例子

水达到 100°C（标准大气压下） ↔ 水沸腾

命题：

水在标准大气压下达到 100°C，当且仅当 它正在沸腾。

分析：

• 只要达到 100°C，水就开始沸腾（充分）

• 如果水正在沸腾，温度就一定是 100°C（必要）

📌 注意：前提是标准大气压下，不然就不是充要了。

 

implication的举例

"If pigs can fly, then I am the king."

🎯 解释 implication 的关键点：

在逻辑中，只要前提是假的，不管结论是真是假，整个“如果…那么…”命题都被认为是真的。

这就是为什么：

“If pigs can fly, then I am the king.”
这句话逻辑上是 真命题，尽管它听起来荒谬。

 

📘 三种逻辑复合命题

表达式	名称	逻辑含义	中文含义
p → q	implication	如果 p 为真，则 q 必须为真	p 蕴含 q（充分条件）
q → p	converse	如果 q 为真，则 p 必须为真	q 蕴含 p（逆命题）
p ↔ q	biconditional	p 和 q 必须同时为真或同时为假	p 等价于 q（充要条件）

 

✅ 统一真值表

p	q	p → q	q → p	p ↔ q
T	T	T	T	T
T	F	F	T(q是F，所以是T）	F
F	T	T(p是F,所以是T)	F	F
F	F	T(p是F,所以是T)	T(q是F，所以是T)	T

 

📌 应用理解（举例）：

命题	表达式	说明
如果下雨，我就带伞	p → q	只要下雨了但没带伞（p=T, q=F），就违背逻辑
如果带伞，就是因为下雨	q → p	如果带伞却不是因为下雨（q=T, p=F），不成立
下雨当且仅当我带伞	p ↔ q	只有下雨和带伞完全同步，命题才为真

 

不是proposition的例子

This statement is false. 如果是真，但是句子本身说是假。如果是假，那就以为着只真。自相矛盾了。

 

An axiom is a proposition that is assumed to be true.

Axioms should be

1.consistent

2.complete

A set of axioms is consistent if no proposition can be proved to be both true and false.

一个公理系统（axiom system）是一致的（consistent），当且仅当 不能从它推导出某个命题既为真又为假。

换句话说：

不存在某个命题 φ，使得你既能从这些公理出发证明它是对的（φ），又能证明它是错的（¬φ）。

A set of axioms is complete is if it can be used to prove every proposition is either true or false.

一个公理系统是完备的，意思是：

系统中表达的每一个命题（proposition），你都能够证明它要么是真的，要么是假的。

即对于任意命题 φ，你总能证明：

• φ（它是真的），或者

• ¬φ（它是假的）

 

An axiom system is said to be consistent if no contradiction can be derived from its axioms.
That is, there does not exist a statement φ such that both φ and ¬φ are provable within the system.

A system is consistent if it never proves something to be both true and false at the same time.

 

An axiom system is complete if every statement expressible in the system’s language is either provable or its negation is provable.
That is, for every well-formed formula φ, either φ or ¬φ is derivable from the axioms.

A system is complete if it leaves no undecidable statements — you can always settle the truth or falsehood of any statement in the language.

 

总结对比：

项目	Proposition（命题）	Implication（蕴含）
本质	可判断真假的陈述	一个由两个命题构成的条件语句
表达形式	$p,q$	$p\to q$
真值	取决于陈述内容	取决于 $p$ 和 $q$ 的真值组合
举例	“It is raining”	“If it is raining, then the ground is wet.”

 

如果猪会飞，我就是国王。
只有当“猪真的会飞”（p=T），而“我不是国王”（q=F）时，这个条件句 p→q 为假。
在其他所有情况下，即使猪不会飞（p=F），整个句子仍然为真。这是经典命题逻辑的标准判断方式。
这也是为什么在日常语言中“如果猪会飞，我就是国王”听起来讽刺荒谬，但在逻辑里，它通常是一个真命题，因为前提是假的。