c++递归 n个人里选k个人的排列组合

 

这是组合数递推公式：

C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

这个公式的来源可以从组合意义上理解，也可以从杨辉三角或归纳法来推导。

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🔍 组合意义解释（最常用的推导）

我们要从 nn 个人里选 kk 个人，有两种情况：

假设第 nn 个人叫 Alice，其他 n−1n-1 个人叫 Others。

• 情况 1：选了 Alice
  那么剩下还需要从 Others 中选 k−1k-1 个，方案数是 C(n−1,k−1)

• 情况 2：没选 Alice
  那么需要从 Others 中选 kk 个，方案数是 C(n−1,k)

总方案数就是两种情况之和：

C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)

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📐 举个例子：C(5,2)C(5, 2)

从 5 个人中选 2 人：

• 包含第 5 人的组合：从前 4 个中选 1 人 → C(4,1)=4C(4, 1) = 4

• 不包含第 5 人的组合：从前 4 个中选 2 人 → C(4,2)=6C(4, 2) = 6

所以：

C(5,2)=4+6=10C(5, 2) = 4 + 6 = 10

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🔁 对应到杨辉三角

这个公式就是杨辉三角（Pascal's Triangle）的构造规则：
每个位置的值是左上角加右上角：

1111211331\begin{align*} & & & & 1 \\ & & & 1 & & 1 \\ & & 1 & & 2 & & 1 \\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\ \end{align*}

每个数字都是它上面两个数字之和：

C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

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如果你喜欢代数推导我也可以补充。是否要我从二项式系数公式角度推一遍？