统计原理 平均数

在统计学中，算术平均数和调和平均数都是常用的描述数据集中趋势的指标，但它们的计算方法和解释有所不同。

1. 算术平均数：算术平均数是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。它是最常见的平均数类型，用于表示数据的集中趋势。算术平均数对数据中所有值进行等权重的考虑，不考虑各个值之间的差异。

   举例来说，假设有一个班级的考试成绩：{80, 85, 90, 95, 100}。计算算术平均数的方法是将所有成绩相加，然后除以成绩的个数，即 (80 + 85 + 90 + 95 + 100) / 5 = 90。这意味着班级的平均成绩是90分。

2. 调和平均数：调和平均数是一组数据中各个数值的倒数的平均值的倒数。调和平均数主要用于表示比率和频率的平均值，特别是在处理速度、比例和频率等方面。

   以速度为例，如果一个物体在一段时间内以不同的速度运动，那么整段时间的平均速度应该是所有速度的调和平均数。调和平均数可以被定义为总体中各部分的倒数的平均值的倒数。

   举例来说，假设一个人以30km/h的速度前进了一段时间，然后以60km/h的速度前进了同样的时间。他的平均速度是多少？这时我们计算调和平均数：2 / ((1 / 30) + (1 / 60)) = 2 / (1/30 + 1/60) = 40km/h。这意味着他的平均速度是40km/h。

区别：

• 算术平均数对数据中所有值都平等对待，而调和平均数对数值的倒数进行平均，因此更加受到较小数值的影响。
• 当处理速度、频率或其他与比率相关的数据时，调和平均数更为合适，因为它考虑了倒数的影响，而算术平均数可能会导致高数值对结果的主导作用。

 

几何平均数是一组正数的乘积的n次根，其中n是数值的个数。它主要用于处理比例和增长率，尤其适用于计算复合增长率或利率。下面是一个举例说明：

假设有一项投资，每年的收益率如下：

• 第一年：5%
• 第二年：10%
• 第三年：15%
• 第四年：20%

要计算这四年的平均年收益率，可以使用几何平均数。首先，将每年的收益率转换为1加上百分比的小数形式：

• 第一年：1 + 0.05 = 1.05
• 第二年：1 + 0.10 = 1.10
• 第三年：1 + 0.15 = 1.15
• 第四年：1 + 0.20 = 1.20

然后，将这些转换后的数值相乘： 1.05 × 1.10 × 1.15 × 1.20 ≈ 1.6823

最后，计算四年的平均年收益率的几何平均数，即这四个数值的乘积的四次根： (1.05 × 1.10 × 1.15 × 1.20)^(1/4) ≈ 1.1372

所以，这项投资的四年平均年收益率约为13.72%。这个数字表示了四年间投资的平均增长率。

 

加权平均数是一组数值的平均值，其中每个数值的贡献被乘以其相应的权重，然后再求和。权重可以是任何正数，通常代表了每个数值在整体平均值中的相对重要性。举个例子：

假设一个学生在一学期内有三门课程的成绩，每门课程的学分数（权重）不同。这三门课程分别是：

1. 数学（4个学分）：85分
2. 英语（3个学分）：90分
3. 物理（2个学分）：80分

要计算学生这学期的加权平均成绩，首先需要将每门课程的成绩乘以其对应的权重，然后将这些乘积相加，最后除以总的权重数。

计算过程如下： $(85\times 4)+(90\times 3)+(80\times 2)=340+270+160=770$

总的权重数为 $4+3+2=9$。

所以，学生这学期的加权平均成绩为 7709≈85.569770​≈85.56 分。

这个加权平均成绩考虑了每门课程的学分数，因此更加准确地反映了学生整体的表现。

 

调和平均数是各个标志值倒数的算术
平均数的倒数，所以又称倒数平均数。

 

数量指标综合指数应以基期的质量指标为同度量因素
质量指标综合指数应以报告期的数量指标为同度量因素

由算术平均数指数可以推导出数量指标综合指数，因此算术平均数指数反映的是数量指标的总变动

由调和平均数指数可以推导出质量指标综合指数，因此调和平均数指数反映的是现象质量指标的总变动。