图的连通性代码模板(python)

图的连通性代码模板

文章目录

• 图的连通性代码模板
• • $Tarjan$算法与无向图连通性
  • • 时间戳
    • 搜索树
    • 追溯值
    • 什么样的点是割点？
    • 什么样的边是桥(割边)？
    • $Tarjan$ 求割点代码
    • $Tarjan$ 求桥(割边)代码
  • 边双连通分量($e-DCC$)
  • • $e-DCC缩点$
  • 点双连通分量($v-DCC$)
  • • 求$v-DCC$
    • $v-DCC$缩点
  • 有向图的连通性
  • • 一些概念
    • 1、$Kosaraju$ 算法
    • 2、$Tarjan$ 算法与有向图的强连通分量
    • • 强连通分量 $SCC$ 以及 $SCC$ 缩点

• 关于 $e-DCC$ 和 $v-DCC$ 缩点的应用可能结合倍增 $LCA$ 算法，多次回答无向图上两点之间的必经边、必经点的询问。

$Tarjan$算法与无向图连通性

时间戳

在图的深度优先遍历中，按照每个结点第一次被访问的顺序，依次给予 $N$ 个结点 $1$~$N$ 的整数标记，该标记就被称为“时间戳”，记为 $dfn[x]$。

搜索树

在无向连通图中任选一个结点进行 $dfs$ ，每个结点只访问一次。所有发生递归的边 $(x,y)$ 构成一棵树，我们把它称为“无向连通图的搜索树”。一般的无向连通图的各个连通块的搜索树构成无向图的搜索森林。

追溯值

返祖边：搜索树上的一个点连向其祖先结点的边

横插边：搜索树上一个点连向它另一条支链上的点的边（只存在于有向图）

$low[x]$ 定义为当前点及其子树的仅通过一条返祖边能连到 $dfn$ 值最小的点

$(u,v)$ 是树边: $low[u]=min(low[u],low[v])$

$(u,v)$ 是返祖边: $low[u]=min(low[u],dfn[v])$

什么样的点是割点？

1. 有多个儿子的根结点。
2. 子树中不存在跨越自己连向上方的返祖边

什么样的边是桥(割边)？

• $(u,v)$ 是树边，且下侧的点及其子树中不存在连向上侧的返祖边，即搜索树上一结点 $x$ 及其子结点 $y$ 满足： $dfn[x]\le low[y]$。

$Tarjan$ 求割点代码

def tarjan(x):
    global cnt # 当前时间戳
    cnt += 1
    dfn[x] = low[x] = cnt
    flag = 0  # 子树中不满足条件的点的数量
    for y,w in g[x]:
        if not dfn[y]:
            tarjan(y)
            low[x] = min(low[x], low[y]) # 树边更新low值
            if low[y] >= dfn[x]: # 返祖边在x下侧，只要有x就是割点
                flag += 1
                if (x != root or flag > 1): boo[x] = 1 # 如果是root，还要保证儿子数大于1
        else: low[x] = min(low[x], dfn[y]) # 非树边更新 low值

n,m = map(int, input().split())
g = [[] for _ in range(n+1)]
for _ in range(m):
    x,y = map(int, input().split())
    if x == y: continue
    g[x].append(y)
    g[y].append(x)

cnt = 0  # 用于记录当前时间戳
dfn, boo = [0]*(n+1), [0]*(n+1) # dfn:时间戳, boo:是否为割点
low = [i for i in range(n+1)]
for i in range(1,n+1):
    if not dfn[i]: 
        root = i
    	tarjan(i)

$Tarjan$ 求桥(割边)代码

这是一个求无向图桥的代码，因为是无向图所以从每个点 $x$ 出发都能到其父亲结点 $fa$。根据 $low$ 的计算方法，$(x,fa)$ 是树上的边，且 $fa$ 不是 $x$ 的子结点，故不能用 $low[fa]来更新low[x]$，但是如果只记录每个结点的父亲结点，则不能处理重边的情况，有重边时，重边也属于 $x$ 的返祖边，故可以用 $dfn[fa]$ 来更新