树与图的一些计数问题（图论学习总结部分内容）

文章目录

• • 前言
  • 七、树与图的一些计数问题（偏数学）
  • • 容斥原理
    • • 知识点
      • 例题
      • • $eg1:$ 完全子图染色问题
        • $eg2:$ $DAG$计数
    • 生成树计数
    • • 知识点
      • 例题
    • 环计数问题
    • 练习题

前言

由于图论学习总结内容过多，全放在一篇博客过于冗长现进行拆分，本文是树与图的一些计数问题部分，其他部分地址见：图论学习总结(For XCPC)

七、树与图的一些计数问题（偏数学）

容斥原理

知识点

待更新

例题

$eg1:$ 完全子图染色问题

A 和 B 喜欢对图（不一定连通）进行染色，而他们的规则是，相邻的结点必须染同一种颜色。今天 A 和 B 玩游戏，对于 $n$ 阶 完全图 。他们定义一个估价函数 $F(S)$，其中 $S$ 是边集，$S\subseteq E$. 的值是对图 $G^{\prime }=(V,S)$ 用 $m$ 种颜色染色的总方案数。他们的另一个规则是，如果 $|S|$是奇数，那么 $A$ 的得分增加 $F(S)$，否则 $B$ 的得分增加 $F(S)$. 问 $A$ 和 $B$​ 的得分差值。

一看这道题的算法趋向并不明显，因此对于棘手的题目首先抽象出数学形式。得分差即为奇偶对称差，可以用 -1 的幂次来作为系数。我们求的是我们求的是$Ans={\sum }_{S\subseteq E}(-1{)}^{|S|-1}F(S)$​

$eg2:$ $DAG$计数

​ 待更新

生成树计数

知识点

• 矩阵树定理

例题

环计数问题

练习题

#2542. 「PKUWC2018」随机游走 - 题目 - LibreOJ (loj.ac)

P4707 重返现世 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)