【bzoj1019】[SHOI2008]汉诺塔
1019: [SHOI2008]汉诺塔
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Description
汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。
对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。
Input
输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。
Output
只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。
Sample Input
3
AB BC CA BA CB AC
AB BC CA BA CB AC
Sample Output
7
【题解】
这道题没有看题解，纯自己想出来的，写完之后，感觉智商提高了不少。
首先关于汉诺塔问题，如果策略不变，那么一定满足一个线性递推关系：f[i]=f[i-1]*a+b（证明自己yy）
那么我们就可以先模拟出f[1],f[2],f[3]的值，求出a=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]) , b=f[2]-a*f[1]
然后线性递推即可，别忘了用long long
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cmath> 6 #include<ctime> 7 #include<algorithm> 8 #include<algorithm> 9 using namespace std; 10 #define INF 99999999 11 char ch[6][2]; 12 int n,stack[5][32],top[5]; 13 long long f[32]; 14 inline int read() 15 { 16 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 17 while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} 18 while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();} 19 return x*f; 20 } 21 bool check(){return (!top[1]&&!top[2])||(!top[1]&&!top[3]);} 22 void work(int x) 23 { 24 memset(stack,0,sizeof(stack)); 25 memset(top,0,sizeof(top)); 26 for(int i=x;i;i--) stack[1][++top[1]]=i; 27 int last=0; 28 stack[1][0]=stack[2][0]=stack[3][0]=INF; 29 while(!check()) 30 { 31 for(int i=0;i<6;i++) 32 { 33 int xx=ch[i][0]-'A'+1,yy=ch[i][1]-'A'+1; 34 if(stack[xx][top[xx]]<stack[yy][top[yy]]&&stack[xx][top[xx]]!=last) 35 { 36 stack[yy][++top[yy]]=stack[xx][top[xx]]; 37 last=stack[xx][top[xx]]; top[xx]--; 38 break; 39 } 40 } 41 f[x]++; 42 } 43 } 44 int main() 45 { 46 //freopen("cin.in","r",stdin); 47 //freopen("cout.out","w",stdout); 48 n=read(); 49 for(int i=0;i<6;i++) scanf("%c%c ",&ch[i][0],&ch[i][1]); 50 f[1]=1; 51 work(2); 52 work(3); 53 int a=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]),b=f[2]-a*f[1]; 54 for(int i=4;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*a+b; 55 printf("%lld\n",f[n]); 56 return 0; 57 }
