第三章作业

1.1 最优子结构、递归方程、边界条件

状态定义
设 dp[i][j]：从起点(1,1)走到格子(i,j)的最小通行总费用（包含格子(i,j)本身的费用）；
a[i][j]：格子(i,j)的通行费。

最优子结构说明
到达(i,j)只有两种可能：从上方(i-1,j)向下走一步，或者从左侧(i,j-1)向右走一步。
到(i,j)的最优路径，一定是【到(i-1,j)最优】或者【到(i,j-1)最优】再加上当前格子费用，满足最优子结构。

递归方程

dp[i][j]=a[i][j]+\min
\begin{cases}
dp[i-1][j] \
dp[i][j-1]
\end{cases}
\quad (i>1,\ j>1)

边界条件

1. 起点：\boldsymbol
2. 第一行（只能从左边过来，不能从上面来）：
   dp[1][j]=dp[1][j-1]+a[1][j],\quad j=2,3,\dots,N
3. 第一列（只能从上面过来，不能从左边来）：
   dp[i][1]=dp[i-1][1]+a[i][1],\quad i=2,3,\dots,N
   1.2 填表维度、填表范围、填表顺序、原问题最优值

• 表的维度：二维表，\boldsymbol{N\times N} 的dp表。

• 填表范围：i\in[1,N],\ j\in[1,N]
• 填表顺序：逐行从上到下，每行内部从左往右。
原因：计算dp[i][j]时，它上方dp[i-1][j]（上一行，已经算好）、左边dp[i][j-1]（本行左边，已经算好），保证依赖项先计算完成。

• 原问题最优值：\boldsymbol{dp[N][N]}（右下角单元格）。

1.3 时间、空间复杂度

• 时间复杂度：\boldsymbol{O(N^2)}
一共N^2个状态；每个状态只做一次min比较和一次加法，是O(1)操作。

• 空间复杂度：\boldsymbol{O(N^2)}
需要N\times N的dp数组存储状态。
补充优化：因为当前行只依赖上一行和本行左边，可以用一维滚动数组压缩，优化为O(N)，基础版本写O(N^2)即可。2. 对动态规划算法的理解和体会

动态规划的核心是拆分、复用、避免重复计算，它适用于同时满足最优子结构和重叠子问题的问题。

1. 最优子结构：一个问题的最优解，可以由它子问题的最优解推导出来；

2. 重叠子问题：递归分解的时候，很多子问题会被反复计算，暴力递归会大量重复，DP用一张表把子问题结果存下来，算一次永久复用；

3. 和贪心区别：贪心只看局部最优，不一定能推出全局最优；动态规划会记录所有子问题最优，在多个选择里挑最优；

4. 解题套路一般是：定义状态 → 找状态转移方程（递归式） → 确定边界 → 规划填表顺序；

5. 代价：动态规划是以空间换时间，用数组保存子问题答案，大幅降低暴力搜索的指数复杂度。

简单来说：动态规划就是把大问题拆成小问题，把小问题答案存起来，一步步推到大问题的答案。