矩阵树定理

矩阵树定理与生成树

1.矩阵树定理

矩阵树定理用矩阵刻画了一个图的生成树个数

设 \(G\) 是一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，定义矩阵：

\[L(G) = \begin{cases} deg_i, & \text{if } i = j \\ -E_{i,j} & \text{if } i \ne j \end{cases} \]

其中 \(deg_i\) 表示点 \(i\) 的度数， \(E_{i,j}\) 表示点 \(i\) 与点 \(j\) 之间的边数。

那么有图 \(G\) 的生成树个数为：

\[\det L(G)_{[n] \setminus \{k\}, [n] \setminus \{k\}} \]

1.1 证明

我们从组合角度出发，给出一个没有那么严谨的证明，使用Cauchy-Binet公式。

我们只说明 \(k = 1\) 时的情况，相信读者能够理解。

定义矩阵 \(L_{m,n}\)：对于第 \(i\) 列，设图中第 \(i\) 条边为 \((u_i, v_i)\)，令 \(L_{u_i, i} = 1, L_{v_i, i} = -1\)。（读者或许会迷惑 \(u_i\) 与 \(v_i\) 的顺序，事实上你看完证明会发现这无关紧要）

同时我们简记 \(\det L(G)_{[n] \setminus \{k\}, [n] \setminus \{k\}}\) 为 \(A\)，即 \(L(G)\) 的一个余子式。

于是有 \(L(G) = L * L^{\top}\)，设 \(L\) 删去第一行后为 \(B\)。

由Cauchy-Binet公式：

\[\det(A) = \det(B^2) = \sum_{1 < k_1 < k_2 < \dots < k_{n-1} \le m} {B \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ k_1 & k_2 & \dots & k_{n-1} \end{pmatrix} }^2 \]

我们下面说明：当 \(k_1, k_2, \dots, k_{n-1}\) 构成一棵生成树时此贡献为 \(1\)，否则为 \(0\)。

• 反面，加入不是一颗树，那么则有环，且除环上的边外无别的边，我们单独考虑涉及的点与边。取出这个子矩阵，利用行列式的性质，把所有行加到第一行，使得第一行全部为零，于是整个就为 \(0\)。

• 正面，我们建出这棵树，每条边对应他下面那个点，而因为我们删去了 \(L\) 的第一行，所以所有与 \(1\) 相连的边就确定了，情况存在且唯一，平方后即为 \(1\)。

就证完了。

2.1 理解

我们体会它，描绘一下它的证明过程。

我也真是醉了，网上基本找不到对带权矩阵树定理的描述。

关键在于我们取出 \(B\) 的一个子矩阵，倘若非生成树，那么结果必为 \(0\)，可是，当他是生成树时，我们在求什么？

关键在于我们对于上面时，每条边设了一个 \(1\) 和一个 \(-1\)，倘若改成别的数呢？

结论：对于每条边 $(i, j) 把 $ \(E_{i, j}\) 改成此边的边权，用矩阵树定理，就可以求：

\[\sum_{T} \prod_{e \in T} w(e) \]

前提：\(<W, +, \times>\) 构成一个环。