[math]计算概率

 

题目描述：

      A有61个硬币，B有60个硬币。A和B同时将所有硬币抛出，A正面向上个数比B多的概率是多少。

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题目分析：

      由于每个硬币抛出都是一个独立事件，所以把题目改为A将一个硬币抛61次，B将硬币抛60次，A正面想上次数比B多的概率。如果直接用枚举的方法肯定是不适合的。有人可能会想用期望值来做，前60次的期望一样，所以最后决定在最后一次硬币，所以结果是1/2。这种方法是不是可以，我最后会进行一个讨论。我想到的方法和前面的有点类似，我假设前60次A比B正面多的概率为k，从而试试可不可以把k约去。就算不能约去，也可以得到一个关于k的表达式，从而可以进一步推断。

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题目答案：

       事件A = ｛A抛60次正面向上大于B抛60次｝，事件B=｛B抛60次正面向上大于A抛60次｝，事件C=｛A抛60次正面向上等于B抛60次｝，p是A抛61次正面向上个数大于B抛60次的概率。

       设P（A）= k，由对称性可得P（B）=  P（A）= k，P（C）= 1 - P（A）-P（B）= 1 - 2*k。

       p = k + P（C）*1/2 = k + (1 – 2*k)/2 = 1/2.

       所以最后答案是1/2。

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题目扩展：

      上面提到，可不可以按照期望的说法，假设A抛的是62次，那么按照期望的说法，得到的答案是3/4。

      实例验证一下：A抛3次，B抛1次的概率是

            1 – 1/2 ^ 3  - 3* (1/2^3)*1/2 = 1- 1/8 – 3/16 = 11/16 != 3/4

       所以并不能用期望来算。

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