【学习笔记】二分图匹配

前言

二粉兔集合，全体起立！

一些定义

• 二分图：将能将原图点集 \(V\) 分成两个集合 \(A,B\)，且 \(A∩B=∅,A∪B=V\)，使得所有边的端点一个在 \(A\) 中，一个在 \(B\) 中的图
• 匹配：一个边的集合，集合内的任意两个边都没有公共端点，那么集合内的边是匹配边，不在集合内但在原图边集内的边是非匹配边，匹配边的端点是匹配点，其它点是非匹配点
• 最大匹配：一个图所有的匹配中，包含匹配边最多的匹配的匹配边数
• 交替路：从非匹配点开始，走非匹配边，匹配边，非匹配边......的路径
• 增广路：以非匹配点结束的交替路
• 完美匹配：所有点都是匹配点的匹配
• 完备匹配：使得 \(A \textup{ or } B\) 集合的所有点都是匹配点的匹配
• 最佳匹配：带权二分图的权值最大的完备匹配
• 独立集：点的集合，集合内任意两个点没有边相连

一些性质

• 二分图等价于无奇环
• 二分图中，最大独立集点数加最大匹配点数等于总点数

匈牙利算法

等着 ctrl + c

KM 算法

• 交替路：DFS 过程中，所有访问过的节点以及这些节点形成的边构成的树（即寻找增广路过程中形成的树）
• 顶标：每个顶点赋予的顶点标记值。满足：\(a_i+b_j\ge w(i,j)\)
• 相等子图：满足 \(a_i+b_j=w(i,j)\) 的边构成的子图
• 定理：当相等子图中存在完美匹配时，这个完美匹配就是二分图的带权最大匹配
• 证明：显而易见

1. 此处我们设结点较少的集合为 \(A\)，初始时对 \(A\) 的每一个顶点设置顶标，顶标的值为该点关联的最大边的权值，\(B\) 的顶点顶标为 \(0\)。
2. 对于 \(A\) 中的每个顶点，在相等子图中利用匈牙利算法找一条增广路径，如果没有找到，则修改顶标，扩大相等子图，继续找增广路径。

如果从 \(A\) 中的某个点 \(A_i\) 出发在相等子图中没有找到增广路径，我们是如何修改顶标的呢？如果我们没有找到增广路径，则我们一定找到了许多条从 \(A_i\) 出发并结束于 \(A\) 的匹配边与未匹配边交替出现的路径，即交替路。我们将交替路中 \(A\) 的顶点顶标减去一个值 \(d\)，交替路中属于 \(B\) 的顶点顶标加上一个值 \(d\)。其中 \(d=a_i+b_j-w(i,j)\)。

• 两端都在交替路中的边 \((i,j)\)，其顶标和没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

• 两端都不在交替路中的边 \((i,j)\)，其顶标也没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

• \(x\) 不在交替路中，\(y\) 在交替路中的边 \((i,j)\)，它的顶标和会增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

• \(x\) 在交替路中，\(y\) 不在交替路中的边 \((i,j)\)，它的顶标和会减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

我们修改顶标的目的就是要扩大相等子图。为了保证至少有一条边进入相等子图，我们可以在交错树的边中寻找顶标和与边权之差最小的边，这就是前面说的 \(d\)。将交错树中属于 A 的顶点减去 \(d\)，交错树中属于 B 的顶点加上 \(d\)。则可以保证至少有一条边扩充进入相等子图。

3. 当每个点都找到增广路径时，此时意味着每个点都在匹配中，即找到了二分图的完备匹配。该完备匹配即为二分图的带权最大匹配

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关于相等子图的一些性质：

1. 在任意时刻，相等子图的顶标和即为所有顶点的顶标和
2. 扩充相等子图后，相等子图的顶标和将会减小
3. 当相等子图的最大匹配为原图的完备匹配时，匹配边的权值和等于所有顶点的顶标和，此匹配即为二分图的带权最大匹配

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模板题：给定一个邻接矩阵，然后求二分图的最大权匹配。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 310;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

int n, match[N]; // 匈牙利算法必备 
bool va[N], vb[N]; // 记录 va 与 vb 是否遍历过 
ll upd[N], w[N][N], delta; // 计算顶标修改值 
ll la[N], lb[N]; // KM 算法的顶标

bool dfs(int u) {
    va[u] = 1;
    for(int v = 1; v <= n; v++) {
        if (vb[v]) continue;
        if (la[u] + lb[v] - w[u][v] == 0) {
            vb[v] = 1;
            if (!match[v] || dfs(match[v])) {
                match[v] = u;
                return 1;
            }
        } else upd[v] = min(upd[v], la[u] + lb[v] - w[u][v]);
    }
    return 0;
}

ll km() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        la[i] = -inf;
        lb[i] = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            la[i] = max(la[i], w[i][j]);
            match[j] = 0;
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (1) {
            memset(va, 0, sizeof(va));
            memset(vb, 0, sizeof(vb));
            memset(upd, inf, sizeof(upd));
            
            if (dfs(i)) break;
            delta = inf;
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (!vb[j]) delta = min(delta, upd[j]);
            
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (va[j]) la[j] -= delta;
                if (vb[j]) lb[j] += delta;
            }
        }
    }
    
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
		ans += w[match[i]][i];
    return ans;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);

    while (cin >> n && n != -1) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                cin >> w[i][j];
        cout << km() << "\n";
    }
    
    return 0;
}