动态规划题目列表

做动态规划的题目之前养成手写dp的习惯，会避免很多问题

小明的背包（01背包）

https://www.lanqiao.cn/problems/1174/learning/?page=1&first_category_id=1&sort=students_count&problem_id=1174

• 解释：一定要自己动手写一下dp，然后看一下怎么初始化的，然后再开始动手写代码,包括一维数组的实现为什么要倒叙j，因为会被覆盖掉
• 二维数组代码：

  #include <iostream>
  using namespace std;
  
  int W[101];
  int V[101];
  int dp[101][1001];
  int N, C;
  
  int main()
  {
      // 请在此输入您的代码
      cin >> N >> C;
      for(int i = 0; i < N; i++) {
          cin >> W[i] >> V[i];
      }
      //初始化：
      //初始化列：
      for(int i = 0; i < N ;i++) {
          dp[i][0] = 0;
      }
      //初始化行：
      for(int i = 0; i <= C; i++) {
          if(W[0] <= i) {
              dp[0][i] = V[0];
          }else{
              dp[0][i] = 0;
          }
          
      }
  
      for(int i = 1; i < N; i++) {
          for(int j = 1; j <= C; j++) {
              if(W[i] > j) {
                  dp[i][j] = dp[i - 1][j];
              }else {
                  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - W[i]] + V[i]);
              }
          }
      }
      cout << dp[N - 1][C];
      return 0;
  }
  

• 一维数组代码：

  #include<iostream>
  #include<string.h>
  using namespace std;
  
  int N, C;
  int W[101];
  int V[101];
  int dp[1001];
  
  int main() {
      cin >> N >> C;
      memset(dp, 0, sizeof(dp));
      for(int i = 0; i < N; i++) {
          cin >> W[i] >> V[i];
      }
      for(int i = 0; i < N; i++) {
          // for(int j = 1; j <= C; j++) {
          //     //这里为什么不能从小到大循环呢？
          //     if(W[i] <= j) {
          //         dp[j] = max(dp[j], dp[j - W[i]] + V[i]);
          //         //..............如果从小到大，那么大的j - W[i]其实不是i - 1的时候的状态，而是被覆盖掉了
          //     }
          // }
          for(int j = C; j >= W[i]; j--) {
              dp[j] = max(dp[j], dp[j - W[i]] + V[i]);
          }
      }
      cout << dp[C];
      return 0;
  }
  
  
  

小明的背包2（完全背包）

https://www.lanqiao.cn/problems/1175/learning/?page=1&first_category_id=1&sort=students_count&name=小明的背包2

• 解释： 还是一样的自己动手写一下dp表之后再做判断，先看二维的是怎么判断的
• 二维数组代码：

  #include <iostream>
  using namespace std;
  
  int w[1001];
  int v[1001];
  int dp[1001][1001];
  int n, c;
  
  int main()
  {
      // 请在此输入您的代码
      cin >> n >> c;
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          cin >> w[i] >> v[i];
      }
      //初始化第一列：
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          dp[i][0] = 0;
      }
      //初始化第一行：
      for(int i = 0; i <= c; i++) {
          if(i >= w[0]) {
              dp[0][i] = i/w[0] * v[0];
          }else{
              dp[0][i] = 0;
          }
      }
      for(int i = 1; i < n; i++) {
          for(int j = 0; j <= c; j++) {
              if(w[i] > j) {
                  dp[i][j] = dp[i - 1][j];
              }else {
                  //到这里又要分两种情况，加还是不加，如果不加的话那就是dp[i - 1][j],也包含在下面的情况中;
                  for(int k = 0; k * w[i] <= j; k++){
                      dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k*w[i]] + k*v[i]);
                  }
              }
          }
      }
      cout << dp[n - 1][c];
      return 0;
  }
  

• 解释：一旦变成顺序的话就会导致每一个物品多加，所以可以加以区别
• 一维代码：

  #include<iostream>
  #include<string.h>
  using namespace std;
  
  int w[1001];
  int v[1001];
  int dp[1001];
  int n, c;
  
  //你只要记住背包大小顺序的话就会导致多加就行了，那么完全背包就是顺序的
  
  int main() {
      cin >> n >> c;
      memset(dp, 0, sizeof(dp));
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          cin >> w[i] >> v[i];
      }
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          for(int j = 0; j <= c; j++) {
              if(w[i] <= j)
              dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
              
          }
      }
      cout << dp[c];
      return 0;
  }
  

2022

https://www.lanqiao.cn/problems/2186/learning/?page=1&first_category_id=1&sort=students_count&name=2022

• 解释：很多的dp题目一开始的思考都是按照二维的来理解的，所以有的时候不要一味的追求一维实现而忽略二维的意义
• 代码：

  #include<iostream>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  ll dp[2023][11][2023];
  int main() {
      //初始化：
      for(int i = 0; i <= 2022; i++) {
          dp[i][0][0] = 1;
      }
      for(int i = 1; i <= 2022; i++) {
          for(int j = 1; j <= 10; j++) {
              for(int k = 1; k <= 2022; k++) {
                  //两种情况，最后一位i有没有选择：
                  //第一种情况是i有选择
                  //dp[i - 1][j - 1][k - i];
                  //第二种情况，最后一位i没有选择
                  //dp[i - 1][j][k]
                  dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + (k >= i? dp[i - 1][j - 1][k - i] : 0);
              }
          }
      }
      cout << dp[2022][10][2022];
      return 0;
  }
  

数字三角形

https://www.lanqiao.cn/problems/505/learning/?page=1&first_category_id=1&sort=students_count&name=数字三角形

• 代码

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  
  int n;
  int nums[101][101];
  int dp[101][101];
  
  int main()
  {
      cin >> n;
      for(int i = 0; i < n; i++) {
          for(int j = 0; j < i + 1; j++) {
              cin >> nums[i][j];
          }
      }
      //初始化：
      dp[0][0] = nums[0][0];
      for(int i = 1; i < n; i++) {
          for(int j = 0; j < i + 1; j++) {
              //注意还要判断边界条件
              dp[i][j] = nums[i][j] + max((j - 1 >= 0 ? dp[i - 1][j - 1] : 0), (j <= i - 1 ? dp[i - 1][j] : 0));
          }
      }
      if(n%2 == 0) {
          cout << max(dp[n - 1][(n - 1)/2], dp[n - 1][(n - 1)/2 + 1]);
      }else {
          cout << dp[n - 1][n/2];
      }
      
      
     
      return 0;
  }