LIS（最长上升子序列问题）

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

思路：

有两种方法：

• dp：该方法比较好理解，就是不断更替
• 贪心 + 二分： 用一个数组d记录着最长上升子序列长度为i的最后一个元素，然后根据数组nums中的元素逐渐更新d数组，最后地len出来就是最大的长度

代码

• dp

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        /*这个题目很明显是可以用动态规划的，你可以设想数组的
          长度逐渐增长，这个时候的最长递增子序列是不是在依赖上一个状态
        */
        //dp数组的含义，dp[i]表示数组长度是i的时候最长递增子序列的长度
        /*dp递归公式，第i个元素有没有参与进最长递增子数组里，情况一，有参与
          dp[i] = dp[i - 1] + 1;
          dp[i] = dp[i - 2] + 1;//不对啊
          //有问题
          情况二，没有参与
          dp[i] = dp[i - 1]
        */
        //到这里好像发现情况不对啊，好像该逻辑内部要维护一个子序列的最大值，不然没法递归下去
        /*尝试换一种定义，如果要找到序列的最大值，我们可以定义dp数组的含义是，
          dp[i]表示的是以nums[i]结尾的最长子序列
        */
        /*
          dp的递推公式:
          if(nums[i] >= nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;
          if(nums[i] >= nums[i - 2]) dp[i] = dp[i - 2] + 1;
          if(nums[i] >= nums[i - 3]) dp[i] = dp[i - 3] + 1;
          .......
        */
        // 初始化，dp[0] = 1;对于每一个不是以上的所有情况的都是1
        if(nums.size() == 1) {
            return 1;
        }
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            result = (result < dp[i] ? dp[i] : result);
        }
        return result;
    }
};

• 贪心 + 二分

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        /*
            我们维护一个数组 d[i] ，表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素
            的最小值，用 len 记录目前最长上升子序列的长度，起始时 len 
            为 1，d[1]=nums[0]
        */
        int len = 1, n = nums.size();
        //d是一个递增的数组
        vector<int> d(n + 1, 0);
        d[len] = nums[0];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            //如果比最后一位大的话，那么更新最后一位数字，长度加
            if(nums[i] > d[len]) {
                d[++len] = nums[i];
            //如果比最后一位小的话，找到合适的位置，把该位置的值改成nums[i]
            }else {
                int l = 1, r = len;
                while(l <= r) {
                    int mid = (l + r) / 2;
                    if(d[mid] < nums[i]) {
                        l = mid + 1;
                    }else if(d[mid] > nums[i]){
                        r = mid - 1;
                    }else {
                        r = mid - 1;
                    }
                }
                d[l] = nums[i];
            }
        }
        return len;

    }
};