算法6：c++实现动态规划

1、我们拿 斐波那契数来说，斐波那契数的定义为f（n）=f（n-1）+f（n-2）。我们有以下的方法进行计算，分别是暴力递归，记忆性递归，和动态规划

2、暴力递归方法（缺点是这个方法一定n比较大的时候容易造成时间复杂度很高）：

 

class solution
{
public:
    int fbnq(int n)
    {
        if (n == 0)
        {
            return 0;
        }
        if (n == 1)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
            return fbnq(n - 1) + fbnq(n - 2);
        }
    }
};

　　

3、记忆性递归方法（实际上是通过增加空间复杂度来减少时间复杂度的方法，增加一个记忆来记录数据的方法）

 

class solution
{
public:
    int fbnq(int n, vector<int> arr)
    {
        if (n == 0)
        {
          
            return 0;
        }
        if (n == 1)
        {
            
            return 1;
        }
        if (arr[n] != 0)
        {
            return arr[n];
        }
        else
        {
            return fbnq(n - 1,arr) + fbnq(n - 2,arr);
        }
    }
    int fbnqresult(int a)
    {
        vector<int> f(a+1,0);
        return fbnq(a,f);
    }
    
};

 

这种方法在力扣上面仍然还是超时的，因为虽然减少了时间复杂度，但是还是不满足力扣对时间的要求

4、动态规划（这方法是时间复杂度要求最好的算法之一）

 

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n==0)
        {
            return 0;
        }
        vector<int> f(n+1,0);
        f[1]=1;
        for(int i=2;i<n+1;i++)//动态记录的过程
        {
            f[i]=(f[i-1]+f[i-2]);
        }
        return f[n];
    }
};

 

 

 

3、动态规划三步走：

动态规划，无非就是利用历史记录，来避免我们的重复计算。而这些历史记录，我们得需要一些变量来保存，一般是用一维数组或者二维数组来保存。下面我们先来讲下做动态规划题很重要的三个步骤，

如果你听不懂，也没关系，下面会有很多例题讲解，估计你就懂了。之所以不配合例题来讲这些步骤，也是为了怕你们脑袋乱了

第一步骤：定义数组元素的含义，上面说了，我们会用一个数组，来保存历史数组，假设用一维数组 dp[] 吧。这个时候有一个非常非常重要的点，就是规定你这个数组元素的含义，例如你的 dp[i] 是代表什么意思？

（这里很重要的一个步骤是一般都是从后往前推到的）第二步骤：找出数组元素之间的关系式，我觉得动态规划，还是有一点类似于我们高中学习时的归纳法的，当我们要计算 dp[n] 时，是可以利用 dp[n-1]，dp[n-2]…..dp[1]，来推出 dp[n] 的，也就是可以利用历史数据来推出新的元素值，所以我们要找出数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，这个就是他们的关系式了。而这一步，也是最难的一步，后面我会讲几种类型的题来说。

学过动态规划的可能都经常听到最优子结构，把大的问题拆分成小的问题，说时候，最开始的时候，我是对最优子结构一梦懵逼的。估计你们也听多了，所以这一次，我将换一种形式来讲，不再是各种子问题，各种最优子结构。所以大佬可别喷我再乱讲，因为我说了，这是我自己平时做题的套路。

第三步骤：找出初始值。学过数学归纳法的都知道，虽然我们知道了数组元素之间的关系式，例如 dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]，我们可以通过 dp[n-1] 和 dp[n-2] 来计算 dp[n]，但是，我们得知道初始值啊，例如一直推下去的话，会由 dp[3] = dp[2] + dp[1]。而 dp[2] 和 dp[1] 是不能再分解的了，所以我们必须要能够直接获得 dp[2] 和 dp[1] 的值，而这，就是所谓的初始值。

由了初始值，并且有了数组元素之间的关系式，那么我们就可以得到 dp[n] 的值了，而 dp[n] 的含义是由你来定义的，你想求什么，就定义它是什么，这样，这道题也就解出来了。