01背包问题

01背包问题

二维状态方程-代码思路：

struct something{
	int index;//物体编号
	int m;//物体体积
	int v;//物体价值
}

struct bag{
	int count;//存放了前count件物品
	int volume;//背包体积
}

something a[n+1];//n个物品
int f[n+1][bag.volume+1];//存放状态转移方程，初始化为0

for(int i = 1; i < n; ++i){
	for(int j = 1; j < bag.volume; ++j){
		if(j < a[n].m)
			f[i][j]=f[i-1][j];
		else
			f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-a[n].m]+a[n].v);
	}
}
return f[n][bag_volume];
	

动态规划：

• 装不下，不装
• 装得下，判断要不要装

f[n][bag_volume]代表：在背包体积为bag_volume的情况下去装前n个物品，最大价值。

动态规划方程：

$$dp[index][volume]=\{\begin{array}{ll}dp[index-1][volume]& volume<m(装不下)\\ \max (dp[index-1][volume],dp[index-1][volume-m]+v)& volume\ge m(装得下，要不要装)\end{array}$$

前面的动态规划使用的是二维数组存放状态，可求任意状态的最大价值。

如果只关心背包放前n个（即全部）的话，可优化为使用一维数组。

$$dp[volumn]=\{\begin{array}{l}dp[volumn]\\ \max (dp[volumn],dp[volumn-m]+v)\end{array}$$

根据二维的状态转移方程可得知，dp[index][volumn]的更新依赖到dp[index-1][volumn]，一维数组中的dp[volumn]实际等价于二维数组的dp[index][volumn]，所以优化成一维时需要使用逆序，避免dp[volumn]在被依赖时是dp[index-1][volumn]。

由于使用了一维数组，第二层for循环改为从bag.volumn开始逆序，则此时循环判断条件可以改为j>=a[n].m。

循环条件更改了，则可以边输入边处理而省略存储过程。