路径总和 III 前缀法核心分析

LeetCode 437. 路径总和 III 的学习

题目链接：LeetCode 437. Path Sum III

🧩 题目描述

给定一个二叉树的根节点 root 和一个整数 targetSum，求 路径和等于 targetSum 的路径个数。路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但路径必须向下（只能从父节点走到子节点）。

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方法一：暴力 DFS（从每个节点出发）

✅ 思路

1. 遍历整棵树，对每个节点都尝试作为起点去找路径。
2. 用 DFS 深度遍历每条从当前节点出发的路径，判断路径和是否等于 targetSum。
3. 对所有节点都做一遍这个过程，统计结果。

🚫 缺点

• 时间复杂度较高：每个节点都要作为起点做一遍 DFS
• 容易内存超限或超时，尤其是节点值较大时

✅ Java代码

public class Solution {
    public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
        if (root == null) return 0;
        // 从当前节点出发找路径 + 左子树递归 + 右子树递归
        return dfs(root, targetSum) 
            + pathSum(root.left, targetSum) 
            + pathSum(root.right, targetSum);
    }

    private int dfs(TreeNode node, long target) {
        if (node == null) return 0;
        int count = 0;
        if (node.val == target) count++;
        count += dfs(node.left, target - node.val);
        count += dfs(node.right, target - node.val);
        return count;
    }
}

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：O(N²)，最差情况是每个节点都遍历一次其所有子节点
• 空间复杂度：O(H)，H 为树的高度（递归栈）

方法二：前缀和 + 哈希表优化

✅ 思路

1. 维护一个 Map<Long, Integer> 表示前缀路径和的出现次数。
2. 每次到达一个节点，计算当前从根到这个节点的和 currSum。
3. 判断是否存在某个前缀和 currSum - targetSum：
   • 如果存在，说明从这个前缀节点到当前节点构成一条目标路径。
4. 递归左/右子树，并回溯移除当前节点的路径和。

✅ 关键点

• 把树路径转换成“前缀和差值问题”

• 类似数组中找“连续子数组和为 K”的问题

  ✅ 核心：map 中的 “前缀和” 到底是什么？为什么要存？

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  🧠 简单类比：数组中的前缀和

  先看一维数组：

  int[] arr = {1, 2, 3, 4};
  

  我们要找连续子数组和等于 5 的个数，我们可以用前缀和：

  prefixSum(i) 表示从 arr[0] 到 arr[i] 的总和
  
  prefixSum(j) - prefixSum(i) = arr[i+1] + ... + arr[j]
  

  所以，如果你知道某个 prefixSum 值在前面出现过，那么就可以快速判断后面有没有子数组和为目标。

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  🧩 类比到树上

  在一棵树中，我们可以把 “从根节点到某个节点的路径和” 看作前缀和。

  假设路径如下：

         10
         /
        5
       /
      3
  

  路径：

  • 10 -> prefixSum = 10
  • 10 + 5 -> prefixSum = 15
  • 10 + 5 + 3 -> prefixSum = 18

  现在假设我们 target = 8，我们希望找到从某个祖先节点出发，到当前节点，路径和是 8。

  • 当前节点 prefixSum 是 18
  • 想找从某个祖先到当前路径为 8，就等价于：
    18 - x = 8 → x = 10

  这说明：如果之前有路径和为 10 的前缀出现过，那这条从该前缀之后到当前节点的路径，一定和为 8！

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  ✅ 所以我们记录什么？

  我们用：

  Map<Long, Integer> map
  

  记录：

  • 键：从根到某个祖先节点的路径和
  • 值：这个路径和出现了多少次（因为多条路径可能产生相同前缀和）

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  ✅ 用例演示（一步步）

  输入树：

        10
       /  \
      5   -3
     / \    \
    3   2    11
  

  目标 target = 8

  我们 DFS 遍历树，每走一个节点，就计算到该节点的 currSum，并：

  • 查找 map.get(currSum - target)，看前面有没有出现过这个“前缀和”
  • 如果有，那就说明有路径和 = target

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  ✅ 示例代码中的关键一行：

  int res = map.getOrDefault(currSum - targetSum, 0);
  

  它的含义是：

  当前节点能否通过某个祖先节点构成一条路径和为 target 的路径？

  如果有，就说明路径数量可以加上。

✅ Java代码

public class Solution {
    public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {
        Map<Long, Integer> map = new HashMap<>();
        map.put(0L, 1); // base case
        return dfs(root, 0L, targetSum, map);
    }

    private int dfs(TreeNode node, long currSum, int targetSum, Map<Long, Integer> map) {
        if (node == null) return 0;

        currSum += node.val;
        int count = map.getOrDefault(currSum - targetSum, 0);

        map.put(currSum, map.getOrDefault(currSum, 0) + 1);
        count += dfs(node.left, currSum, targetSum, map);
        count += dfs(node.right, currSum, targetSum, map);
        map.put(currSum, map.get(currSum) - 1); // 回溯

        return count;
    }
}

⏱️ 复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，每个节点只访问一次
• 空间复杂度：O(N)，哈希表和递归栈的最大空间

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🧠 总结对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
暴力 DFS	O(N²)	O(H)	思路简单	性能差，易超时
前缀和优化法	O(N)	O(N)	性能好，易扩展	思路抽象，需要理解