一些组合问题

费马小定理 - 组合证明

先转化形式 \(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)，\(p\) 是素数。

等价于 \(a^p - a \equiv 0 \pmod p\)，等价于 \(p|a^p-a\)。

我们考虑有一个长度为 \(p\) 的项链，现在有 \(a\) 种颜色的珠子。

我们正在配成项链。首先，最直接的配有 \(a^p\) 种项链，去掉 \(a\) 种完全同色的项链。

在剩下的项链中，我们证明可以通过一种方案说明可以 \(p\) 类分组。

对于第一种项链，设这个项链的颜色为 \(Q = c_0c_1c_2\cdots c_{p - 1}\)，\(c\) 不全相等。我们来说明有且仅有 \(p\) 个项链和该项链同构。

先找到以下 \(p\) 个项链：

\[C_i = c_{(0 + d) \bmod p}c_{(1 + d) \bmod p}c_{(2 + d) \bmod p}\cdots c_{(p - 1 + d)\bmod p} \]

这里取 \(d = 0, 1, 2, \cdots, p - 1\) 共有 \(p\) 种。因为 \(p\) 是素数，所以不存在 \(a < p\) 时 \(d|p\) 导致的这 \(p\) 类项链互相同构。

而且因为同构要求，\(c_{i + 1}\) 必须在 \(c_i\) 之后，所以不难说明再无 \(P \not\in C\) 且 \(P\) 与 \(Q\) 同构。

在每一类同构的等价类中选择一个项链，之后恰好每一类选择一个，共有 \(p\) 类。

故说明 \(p|a^p - a\) 种，\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\) 也可以转移而来。

威尔逊定理 - 组合证明

考虑钦定排列 \(p_1 = 1\)，之后旋转构造有向图。

Q10

对于 \(n\ge 1\)，有 $$\sum_{k = 0} ^n (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0$$

证明比较简单，考查

\[1 - (-1)^n \begin{aligned} = 1 - \sum _{k = 0} ^n (-1)^k \dbinom{n}{k} \end{aligned}\]