从 < | > 开始的数学之旅

前言

我喜欢数学。

黑色的幕布下有一盏血红的太阳。太阳喷泻出紫色的汁液。如烟如雾，被黑色渐渐冷却，消散在无穷无尽。

整数

正整数相关

\(Def_1\) 正整数映射

定义一个正整数相关映射 \(f : S \rightarrow T\) ，\(F\) 是相关映射当且仅当 \(S\in T \land C_T{S} = 1\) 。

\(Def_2\) 正整数集

定义 \(f : S \rightarrow T\) 相关的 \(S\) 是 \(F\) 对应的正整数集。

\(Def_3\) 非负整数集

定义 \(f : S \rightarrow T\) 相关的 \(T\) 是 \(F\) 对应的非负整数集。

\(Def_4\) 零

定义唯一的 \(x \in C_T{S}\) 为 改正整数映射对应的零。

\(Def_5\) 前驱

定义 \(f(x),x\in S\)，为 \(x\) 的前驱。

\(Def_6\) 后继

\(y\) 是 \(x\) 的后继当且仅当 \(f(y) = x\)，后继函数 \(g(x) = y (f(y) = x)\)。

\(Def_7\) 前缀

定义 \(x\) 的前缀 \(S_x\) 为集合 \(\{x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\cdots\} \cap T\)

\(Def_8\) 小于等于

定义 \(x\leq y\) 当且仅当 \(x\in S_y\)。

\(Def_9\) 小于

定义 \(x<y\) 当且仅当 \(x\leq y\land \lnot(x = y)\)。

\(Def_{10}\) 大于

\(x > y\) 当且仅当 \(y < x\)。

\(Def_{11}\) 大于等于

\(x\geq y\) 当且仅当 \(y \leq x\)

\(Def_{12}\) 最大值

\(x\) 是 \(S\) 的最大值当且仅当 \(x\in S\) 且对于任意 \(y\)，有 \(y \leq x\)。

\(S\) 的最大值记作 \(\max\{S\}\)。

\(Def_{13}\) 最小值

\(x\) 是 \(S\) 的最小值当且仅当 \(x\in S\) 且对于任意 \(y\)，有 \(x \leq y\)。

\(S\) 的最小值记作 \(\min\{S\}\)。

\(Def_{14}\) 加法

定义 \(x + y\)：

取 \(A = S_x, B = S_y\)。

进行下面的操作，直到 \(B\) 为空集。

1. 删除 \(B\) 中一个元素。

2. 向 \(A\) 添加一个数 \(g(\max\{A\})\)

按：其实还有一种递归定义，但是大家都不太喜欢。。

\(Def_{15}\) 减法

定义 \(x - y\) ：

\(x - y\) 有意义当且仅当 \(x\ge y\)。

进行下面的操作，直到 \(B\) 为空集。

1. 删除 \(B\) 中一个元素。

2. 向 \(A\) 添加一个数 \(f(\min\{A\})\)

\(Def_{16}\) 整数映射

现在有两只映射 \(f : S \rightarrow T, f' : S' \rightarrow T'\)，现在在 \(|T\cap T'| = 1 \land |S\cap S'| = 0\) 时 \(f\) 的反射 \(g\) 可以和 \(f'\) 合并成为新的整数映射 \(F\)，对应的两个新集合 \(L, R\) 。

\(Def_{17}\) 整数集

定义 \(F : S \rightarrow S\) 相关的 \(S\) 是 \(F\) 对应的整数集。

\(Def_{18}\) 零

对于 \(x \in T\cap T'\)，称 \(x\) 为 \(0\)。

\(Def_{19}\) 前驱

定义 \(f(x),x\in S\)，为 \(x\) 的前驱。

\(Def_{20}\) 后继

定义唯一的 \(y\quad \text{s.t.}\quad f(y) = x\) 为 \(x\) 的后继。

\(Def_{21}\) 加法

定义 \(x + y\)：

取 \(A = S_x, B = S_y\)。

进行下面的操作，直到 \(B\) 为空集。

1. 删除 \(B\) 中一个元素。

2. 向 \(A\) 添加一个数 \(g(\max\{A\})\)