Math

活了这么多年都没有死掉，真好。就像那个美丽的函数一样。\(Mobius\)。

\(Def_1:\) 当 \(x\) 的质因数分解为 \(x=\prod _{i=1}^r p_i^{k_i},\mu(x)=\begin{cases}0 &(k_i>1) \\ 1&(x=1) \\ (-1)^r &(Otherwise)\end{cases}\)

我想，这一定是数学王国的居民了。\(\text{topology}\) 的先驱，仿射变换发明者，\(\mu\) 的发明者。

\(Def_2:\) 称 \(f(x)\) 为积性函数，当且仅当对于任何 \(f(nm)=f(n)f(m),\) 其中 \(n\perp m.\)

\(Pf_1:\mu\) 是积性函数：读者自证不难。篇幅有限请原谅。

\(Pf_2:\) 积性函数的和函数仍是积性函数：

对于一个积性函数 \(f(x)\)，设他的和函数为 \(F(x)=\sum_{d|x} f(d).\)

那么对于 \(n\perp m,\) \(F(n)F(m)=\sum_{d|n}f(d)\sum_{d'|m}f(d')=\sum_{d|n}\sum_{d'|m} f(d)f(d')=\sum_{T|nm}f(T),(T=dd')\)

\(\therefore F\) 是积性函数。

\(Pf_3:\) \([n=1]=\sum_{d|n} \mu(d).\)

分类讨论如下：

1. 对于 \(n=1,\) \(\sum_{d|n}\mu(d)=1\) 显然成立。

2. 对于 \(n\not = 1\)，则 \(n>1.\) \(n\) 必定为质数或者合数。

   1. 对于 \(n\) 是一个质数：

      \(\sum _{d|n} \mu(d)= \mu(1)+\mu(n)=1+(-1)=0\)

   2. 对于 \(n\) 是一个合数：

      注意到 \(F(x)=\sum_{d|n} \mu(d)\) 是一个积性函数，任何 \(n\) 都是 \(\sum_{i=1}^r k_i\) 个 \(0\) 的和。

      那么，\(F(x)=\sum_{i=1}^{\sum_{i=1}^r} 0\)，也就可以发现 \(F(x)=0.\)

综上所述，\([n=1]=F(n).\) 证明完毕。

\(Def_3:\text{Dirichlet}\) 卷积：称 \(f * g\) 为 \(h\) 当且仅当 \(h(x)=\sum_{ab=x} f(a)g(b).\)

他也是伟大的数学家。

常见积性函数：

\(id(x)=x,1(x)=1 \cdots\)

\(Pf_4:\) \(f,g\) 均为积性函数，那么 \(f*g\) 也为积性函数。

证明如下：