做题记录

冬训 3

H 角剖分剖角

根据打表可知 \(n\) 边形的 \(sg\) 值为 \(\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)

设第一步划分出来的三个子图点数分别为 \(u,v,w(u,v,w \ge 0 ; u+v+w=n-3)\) ，那么必胜的条件即为 \(\lfloor \frac{u}{3} \rfloor \oplus \lfloor \frac{v}{3} \rfloor \oplus \lfloor \frac{w}{3} \rfloor=0\)

接着对 \(u,v,w\) 对应的划分进行计数

1. 三个均相同，方案数为 \(\frac{n}{3}\)

2. 两个相同，方案数为 \(n\)

3. 三个均不同，方案数为 \(2n\)

但这样算需钦定 \(u,v,w\) 的大小关系，不利于对这样的三元组计数。

考虑不限制 \(u,v,w\) 的大小关系，每一种划分的方案数均认为是 \(n\) ，最后每种方案恰好被计算了 \(3\) 次 , 最后将答案除以 \(3\) 即可。

现在处理 \(\lfloor \frac{u}{3} \rfloor \oplus \lfloor \frac{v}{3} \rfloor \oplus \lfloor \frac{w}{3} \rfloor=0\) 这个限制

令 \(u=3p+r_1,v=3q+r_2\) ，则上式等价于 $(p \oplus q) + (p + q) = \lfloor \frac{n-3-r_1-r_2}{3} \rfloor $

枚举 \(r_1,r_2\) , 右边为常数 \(R\) , 考虑 \((p,q)\) 每一位的取值

1. \((p_i,q_i)=(0,0)\)：该位为 \(0\)
2. \((p_i,q_i)=(0,1)/(1,0)/(1,1)\) ：该位为 \(0\) ，同时进位

故 \(R\) 二进制下每一个 \(1\) 只能由 \(3\) 种进位方法得到，方案数即为 \(3^{\text{popcount}(R)}\)

注意 \(R\) 为奇数时方案数为 \(0\)