随笔分类 - 数学-生成函数
摘要：1.概述 取值处概率的生成函数。 $F(1)=1,F'(1)=E$ 2.分析 设 $F(i)$ 为 $i$ 时刻结束概率的生成函数，$G(i)$ 为 $i$ 时刻未结束概率的生成函数，那么有： $$ f_i+g_i=g_{i-1} \ \Rightarrow F(x)+G(x)=xG(x)+1 ~~
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摘要：因为 十二重计数法 咕了，所以写一下 \(\text{X}\)。 利用动态规划，令 \(f_{n,m}\) 表示 \(n\) 的 \(m\) 划分数 讨论当前是否有 \(0\) 可得： \(f_{n,m}=f_{n,m-1}+f_{n-m,m}\) 记 \(F_i(x)\) 为 \(m\) 划分的
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摘要：刚开始推的时候第一步就忘了乘方案数... 不妨将答案的式子列出： \(\frac{1}{n^k}\sum_{\sum d_i=k}\frac{k!}{\prod{d_i!}}\prod_{1 \le i \le n}(A_i+d_i)\) \(\frac{k!}{n^k}\sum_{\sum d_i
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摘要：\(\sum_{k} \prod_{i} \binom{k_{i+1}}{k_i}\) 首先注意到 \(k\) 一定是不降的，展开组合数得： \(\sum_{k}\frac{k_m!}{k_1!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!}\) 考虑枚举 \(k_1\) 和
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摘要：设整数 \(n\) 的 \(\text{lqp}\) 拆分权值为 \(g(n)\) , 那么有： $$\begin g(n)=1 & (n=0) \ \displaystyle g(n)=\sum_^ fib(i) \times g(n-i) & (n \not=0) \end$$ 令 \(F(x)
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摘要：一.伯努利公式 伯努利数是一个用于解决 \(n\) 次方和的数列。 它的递归定义公式如下： \(\sum_{i=0}^n \binom {n+1} i B_i=[n=0] ~~~~~~~~ (1.1)\) 通过这个定义可以得到伯努利数的前几项：\(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6}
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摘要：令 \(g_n\) 表示 \(n\) 个点的无向图数量， \(f_n\) 表示 \(n\) 个点的无向连通图数量。 显然 \(g_n=2^{\binom{n}{2}}\) 同时如果枚举 \(1\) 节点所在的联通块大小可得： $$\begin &g_n=\sum_^n \binomf_ig_ \ \
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摘要：考虑每次转移前后的关系： 令 \(\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^nf_{i}x^i\) , \(F^*(x)\) 为操作后的生成函数。 $$\begin F^*(x)&= \sum_n xi\sum_^n \frac{j+1}\ &= \sum_n \frac{i+1}
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