随笔分类 - 数论-莫比乌斯反演
摘要：$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sigma_k(ij)$$
阅读全文
摘要：经过一番推导可得： \[ \sum_{T=1}^{\min(n,m)} \left ( \sum_{d|T} \frac{d}{\varphi(d)}\mu(\frac{T}{d}) \right) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor}\varphi(iT
阅读全文
摘要：类比十进制下的纯循环小数，\(k\) 进制下的纯循环小数满足最简分数分母与 \(k\) 互质。 而题目要求相同数值只计数一次，所以只需要考虑最简分数的情况。 那么答案为： \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]\) \(\sum_{i=1}^n\su
阅读全文
摘要：\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m ij \gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))\) \(\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=k]ij k\mu^2(k)\) \(\sum_{k=1}^{\
阅读全文
摘要：首先有一个结论： \(gcd(i\cdot j,i\cdot k,j\cdot k)=\frac{gcd(i , j )\cdot gcd(j , k) \cdot gcd(i,k)}{gcd(i,j,k)}\) 证明如下： 先将 \(i,j,k\) 用唯一分解定理展开的次方分别为 \(w_1,w_
阅读全文
摘要：因为每回合击中的概率是固定的，所以只需要算一次。 概率为：可以击中的情况/总情况。 每个点有 \((n+1)^2\) 个位置，所以总情况为$(n+1)^4$ 可以击中的情况和仪仗队差不多，画个图就知道答案为： \(4(n-1)n+4\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} [
阅读全文
摘要：\(\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)\) \(\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{z|k}[(x,y)=1][(y,z)=1][(x,z)=1]\) \(\su
阅读全文
摘要：如果不知道伯努利数的点这里。 \[ \sum_{i=1}^n (i,n)^x[i,n]^y \] \[ \sum_{i=1}^n (i,n)^{x-y} \times i^y \times n^y \] \[ n^y \sum_{d|n} d ^{x-y} \sum_{i=1}^n [(i,n)=d
阅读全文
摘要：\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sigma((i,j))\) $$\sum_^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_^n\sum_^m [gcd(i,j)=d] $$ $$\sum_{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{\frac{\min(n,m)
阅读全文
摘要：注意本篇题解的 \(k\) 是题目中的 \(d\)。 \(\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]i^k\) \(\sum_{i=1}^ni^k\sum_{d|\gcd(i,n)}\mu(d)\) \(\sum_{d|n}\mu(d)d^k\sum_{i=1}^{\lfloor \frac
阅读全文
摘要：一.数论函数 1.定义 数论函数是 : 其定义域是正整数，值域是一个数集的函数。 积性函数 : 对于所有互质整数 \(a\) 和 \(b\) 有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。 完全积性函数 : 对于所有整数 \(a\) 和 \(b\) 有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号