随笔分类 - 数学-组合数学
摘要：刚开始推的时候第一步就忘了乘方案数... 不妨将答案的式子列出： \(\frac{1}{n^k}\sum_{\sum d_i=k}\frac{k!}{\prod{d_i!}}\prod_{1 \le i \le n}(A_i+d_i)\) \(\frac{k!}{n^k}\sum_{\sum d_i
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摘要：\(\sum_{k} \prod_{i} \binom{k_{i+1}}{k_i}\) 首先注意到 \(k\) 一定是不降的，展开组合数得： \(\sum_{k}\frac{k_m!}{k_1!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!}\) 考虑枚举 \(k_1\) 和
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摘要：第二类斯特林数 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个不同的小球放进 \(m\) 个相同的盒子里，不能有空盒的方案数。 一些小性质： \(\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]\) 当 \(n<m\) ，
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摘要：$$\begin &\sum_n ik \binom \left(\frac{1}\right)i \left(\frac\right) \ =&\frac{1}{mn}\sum_n ik \binom(m-1) \ =&\frac{1}{mn}\sum_n \sum_k (m-1)\binom\b
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摘要：$$\begin &\sum_^n\sum_i \begini\j\end2j j! \ =&\sum_^n\sum_n \begini\j\end2j j! \ =& \sum_^n \sum_n 2jj! \frac{1}{j!} \sum_^j (-1)^k \binom (j-k)^i \
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摘要：$$\begin &\sum_n f(k) xk \binom \ =&\sum_m a_i\sum_n ki xk \binom \ =&\sum_^m a_i\sum_nxk \binom \sum_^i \binom \begini \ j\endj! \ =&\sum_m a_i \sum_
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摘要：我们只关心元素的大小关系，并且是排列计数(即元素不同)，所以任意一个子序列都可看作一个排列。 令 \(f_i\) 表示 \(1 \sim i\) 的所有排列，没有中途退出的排列数。（这个返回值应该是 \(i\) ） 显然满足要求的排列的最大值 \(i\) 的位置只能在 \([i-k+1,i]\) ,
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摘要：不妨设 \(n+k>=m\) , 且 \(n < m\)。 回忆一下卡塔兰数的推导过程 ， 我们用类似的方法解决此题。 首先，我们可将题意转化成从 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) ，不穿过 \(y=x+k\) 的一条路径。 将 \(y=x+k\) 向上平移一个单位得 \(y=x+k+1\
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