BZOJ 1019: [SHOI2008]汉诺塔

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

题解

题目中固定了移动的方向，所以移动的过程是确定的，但是次数不超过10^8，所以不能模拟下去。

考虑dp，设f[i][j]为将i块从小到大的盘子移动到另一个柱子上需要的步数，因为过程是确定的，所以最终移动到的柱子是确定的，设g[i][j]为将i块从小到大的盘子移动到的柱子的标号。

按照汉诺塔的方法，先将上面i-1个盘子移动到一根柱子上，再将第i个盘子移动到另一个柱子上，再将那i-1个移动到该柱子上。

所以f[i][j]和g[i][j]可以从i-1转移过来。

设另外两根柱子为a=g[i-1][j]和b=1+2+3-a-j。

则如果g[i-1][a]=b，直接将第i个盘子从j移动到b上，再将i-1个盘子从a移动到b上即可，那么转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]，g[i][[j]=b。

如果g[i-1][a]=j，先将第i个盘子从j移动到b上，再将i-1个盘子从a移动到j上，再将第i个盘子从b移动到a上，再将i-1个盘子从j移动到a，则转移方程为f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]+1+f[i-1][j]，g[i][j]=a。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=35;
int n;
int g[N][5];
LL f[N][5];
char ch[10][5];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s%s%s%s%s%s",ch[1],ch[2],ch[3],ch[4],ch[5],ch[6]);
	for(int i=1;i<=3;i++){
		for(int j=1;j<=6;j++){
			if(ch[j][0]-'A'+1==i){
				f[1][i]=1;
				g[1][i]=ch[j][1]-'A'+1;
				break;
			}
		}
	}
	int a,b;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=3;j++){
			a=g[i-1][j];
			b=6-a-j;
			if(g[i-1][a]==b){
				f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a];
				g[i][j]=b;
			}
			else{
				f[i][j]=f[i-1][j]+1+f[i-1][a]+1+f[i-1][j];
				g[i][j]=a;
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n][1]);
	return 0;
}