AVL树的旋转操作详解

【0】README

0.0) 本文部分idea 转自:http://blog.csdn.net/collonn/article/details/20128205 
0.1) 本文仅针对性地分析AVL树的单旋转(左左单旋转和右右单旋转)和 双旋转(左右双旋转和右左单旋转)的内部核心技巧; 
0.2) 不得不提的是,旋转有两个属性: 轴 和 旋转方向; (旋转轴即是原最小树经过旋转修正后的符合AVL的最小树的根节点)
0.3) 旋转轴的确定 : (干货——单双旋转的旋转轴确定问题)

  • 0.3.1)单旋转:旋转轴为 不满足AVL条件的最小树的树根的相应孩子节点
  • 0.3.2)多旋转:旋转轴为 不满足AVL条件的最小树的树根的相应孙子节点

【1】 如何判断进行单旋转还是双旋转 (什么时候需要单旋转,而什么时候需要多旋转?)

1.0)高度不平衡需要α点的两棵子树高度差为2,故可得高度不平衡可能出现在下面四种情况中:

①  对α的左儿子的左子树进行一次插入。

②  对α的左儿子的右子树进行一次插入。

③  对α的右儿子的左子树进行一次插入。

④  对α的右儿子的右子树进行一次插入。

1.1)单旋转: 插入点不介于 不满足AVL条件的树根 和 树根对应孩子节点之间;  (情形①、③ 即 左-左、右-右)

1.2)双旋转:插入点介于 不满足AVL条件的树根 和 树根对应孩子节点之间;(情形②、④ 即 左-右、右-左)


【2】单旋转

2.1)左左旋转(顺时针旋转): 从插入点回溯到第一个不满足AVL条件的节点;本例中,插入点是10, 而第一个不满足AVL条件的节点是30;将回溯路径上的节点除节点30外,上移一层,节点30下移一层;

  • case1)
  (这是一个左右双旋转特例,当不符合AVL条件的树根和插入点的父节点只有一个子节点,且相反方向的子节点,当然了,插入点要介于树根和插入点父节点之间的话,才满足 双旋转特例的条件)

Attention)

  • A1)因为10 小于 20 且 小于30; 所以通过一次单旋转就可以完成; 
    (也即是, 左左单旋转时, 不满足AVL条件的最小树的根应该下移,该树的其他节点上移,而不管该树的左子树的右孩子或者存在或者不存在,在旋转过程中,都要把该左子树的的右孩子添加以作为最小树根的左孩子,因为即使不存在,添加null 也不影响最后的旋转效果)

  • case2) 
    这里写图片描述

2.2)右右旋转(逆时针旋转): 从插入点回溯到第一个不满足AVL条件的节点;本例中,插入点是10, 而第一个不满足AVL条件的节点是30;将回溯路径上的节点除节点30外,上移一层,节点30下移一层;

  • case1 
     
    (这是一个右左双旋转特例,当不符合AVL条件的树根和插入点的父节点只有一个子节点,且相反方向的子节点,当然了,插入点要介于树根和插入点父节点之间的话,才满足 双旋转特例的条件)

Attention)

  • A1)因为10 小于 20 且 小于30; 所以通过一次单旋转就可以完成; 
    (也即是, 右右单旋转时, 不满足AVL条件的最小树的根应该下移,该树的其他节点上移,而不管该树的右子树的左孩子或者存在或不存在,在旋转过程中,都要把该右子树的左孩子添加以作为最小树根的右孩子,因为即使不存在,添加null 也不影响最后的 旋转效果)

  • case2)为什么经过右右单旋转就可以修正成为 AVL 树;因为 new point = 13 不在 4 和 7 之间, 所以一次单旋转就可以了,无需双旋转; 
    (也就是说,new point 介于不满足AVL条件的树根和其孩子之间的话,那么就需要双旋转, 否则, 只需要 单旋转就可以了) 
    这里写图片描述

Conclusion of single rotation)单旋转有两个属性: 轴 和 旋转方向

  • C1)单旋转的轴: 相信你也看到了, 单旋转的轴显然是不符合AVL条件的树根的直接孩子;

    • C1.1)左左单旋转的轴:是不符合AVL条件的树根的左孩子;
    • C1.2)右右单旋转的轴:是不符合AVL条件的树根的右孩子;
  • C2)旋转方向:

    • C2.1)左左单旋转方向:顺时针方向;
    • C2.2)右右单旋转方向:逆时针方向;

【3】双旋转

3.1)左右双旋转: (先左左单旋转,再右右单旋转; 即先顺时针旋转,后逆时针旋转)

  • case1)因为47 介于 40 和 50 之间, 所以肯定需要双旋转; 
    这里写图片描述 
    这里写图片描述

3.2)右左双旋转:先将节点15向上提,还是不满足AVL树的条件,再把节点7向上提;(先右右单旋转,再左左单旋转; 即先逆时针旋转,后顺时针旋转) 
这里写图片描述 
这里写图片描述

Conclusion of double rotations) 双旋转有两个属性: 轴 和 旋转方向

    • C1)双旋转的轴:相信你也看到了, 双旋转的轴显然是插入点的直接父节点;(除了两个特例) (干货——双旋转的轴显然是插入点的直接父节点(除了两个特例, 而两个特例的轴是插入点本身))

      • C1.1)左右单旋转的轴:插入点的父节点;
      • C1.2)右左单旋转的轴:插入点的父节点;
    • C2)旋转方向:

      • C2.1)左右单旋转方向:先右右单旋转,再左左单旋转;即先逆时针旋转,再顺时针旋转;
      • C2.2)右左单旋转方向:先左左单旋转,再右右单旋转;即先顺时针旋转,再逆时针旋转; 
        这里写图片描述

 

 

【4】示例图与代码参考

4.1)LL的旋转

  图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。 

  LL的旋转代码:

/*
 * LL:左左对应的情况(左单旋转)。
 *
 * 返回值:旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) {
    AVLTreeNode<T> k1;

    k1 = k2.left;
    k2.left = k1.right;
    k1.right = k2;

    k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1;
    k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1;

    return k1;
}

  4.2)RR的旋转

  图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。

  RR的旋转代码:

/*
 * RR:右右对应的情况(右单旋转)。
 *
 * 返回值:旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    AVLTreeNode<T> k2;

    k2 = k1.right;
    k1.right = k2.left;
    k2.left = k1;

    k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1;
    k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1;

    return k2;
}

  4.3)LR的旋转

  第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转",第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。

  LR的旋转代码:

 

/*
 * LR:左右对应的情况(左双旋转)。
 *
 * 返回值:旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) {
    k3.left = rightRightRotation(k3.left);

    return leftLeftRotation(k3);
}

 

  4.4)RL的旋转

  第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转",第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。

  RL的旋转代码:

/*
 * RL:右左对应的情况(右双旋转)。
 *
 * 返回值:旋转后的根节点
 */
private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) {
    k1.right = leftLeftRotation(k1.right);

    return rightRightRotation(k1);
}

  综上,最后的整体插入代码为:

/* 
 * 将结点插入到AVL树中,并返回根节点
 *
 * 参数说明:
 *     tree AVL树的根结点
 *     key 插入的结点的键值
 * 返回值:
 *     根节点
 */
private AVLTreeNode<T> insert(AVLTreeNode<T> tree, T key) {
    if (tree == null) {
        // 新建节点
        tree = new AVLTreeNode<T>(key, null, null);
        if (tree==null) {
            System.out.println("ERROR: create avltree node failed!");
            return null;
        }
    } else {
        int cmp = key.compareTo(tree.key);

           if (cmp < 0) {    // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况
            tree.left = insert(tree.left, key);
            // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。
            if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) {
                if (key.compareTo(tree.left.key) < 0)
                    tree = leftLeftRotation(tree);
                else
                    tree = leftRightRotation(tree);
            }
        } else if (cmp > 0) {    // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况
            tree.right = insert(tree.right, key);
            // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。
            if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) {
                if (key.compareTo(tree.right.key) > 0)
                    tree = rightRightRotation(tree);
                else
                    tree = rightLeftRotation(tree);
            }
        } else {    // cmp==0
            System.out.println("添加失败:不允许添加相同的节点!");
        }
    }

    tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1;

    return tree;
}

public void insert(T key) {
    mRoot = insert(mRoot, key);
}

 

You can find all of my code here: https://github.com/cherryljr
posted @ 2017-04-05 19:35  樱の空  阅读(11361)  评论(1编辑  收藏  举报