Logistic Regression vs Naive Bayes

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相同

逻辑回归和朴素贝叶斯都是对条件概率\(P(y|X)\)进行建模，使得最终的分类结果有很好的解释性。

不同

具体流程

• 逻辑回归：
  假设\(P(y=1|X)\)满足逻辑函数

\[\delta(z)=\frac{1}{1+exp(-z)} \]

其中，\(z=XW+b\)，即

\[P(y=1|X)=\frac{1}{1+exp(-XW-b)} \]

通过梯度下降最小化\(-\sum\limits_{(X,y)}log(P(y|X))\)直接求解\(W\)。

• 朴素贝叶斯：
  贝叶斯：
  不直接求解\(P(y|X)\)，先求解\(P(y)\)和\(p(X|y)\)，再通过贝叶斯公式

\[P(y|X)=\frac{p(x,y)}{\sum\limits_{y}{p(x,y)}}=\frac{P(y)p(X|y)}{\sum\limits_{y}{P(y)}p(X|y)} \]

求解\(P(y|X)\)。
朴素：
且其假设特征满足条件独立性：给定类别，不同维度的特征取值之间相互独立，即$$p(X|y=c)=\prod_i{p(X_i|y=c)}$$
如果特征\(X\)取离散值，可以直接根据训练数据统计出\(P(y)\)和\(p(X_i|y)(\forall{i})\)。
如果特征\(X\)取连续值，需要假设\(p(X|y)\)的形式，如高斯分布，其对应\(W\)值形式确定，根据训练数据利用MLE求解出\(\mu\)和\({\Sigma}\)后，由\({\mu}\)和\({\Sigma}\)确定\(W\)值。
预测时，求解使得\(P(y|X)\)最大的\(y\)作为最终的分类结果。

模型类别

逻辑回归是判别模型；朴素贝叶斯是生成模型。
判别模型的目标是找到一个最能够区分不同类的边界，它不在乎每一类中样本点是如何分布的；
生成模型首先对各类中的样本分布进行建模，
好处是需要的训练数据更少、对于噪声点更鲁棒(该点与假设不符合，可能是噪声点)、\(P(y)\)和\(p(X|y)\)可以来自不同的源。

如何取舍

当特征间满足条件独立性假设时，随着训练数据中样本个数的增加，在极限情况下，逻辑回归和高斯朴素贝叶斯分类结果一致。
高斯朴素贝叶斯的收敛速度比逻辑回归更快，
当训练数据中样本数目较小时，高斯朴素贝叶斯往往比逻辑回归表现得更好；
当样本数目较大时，由于逻辑回归的极限误差更低，它会比高斯朴素贝叶斯表现得更好。
与逻辑回归相比，朴素贝叶斯的方差更小，偏差更大。
比起逻辑回归来，朴素贝叶斯会较为受限于特征工程，当假设不成立时，假设会对分类的准确性造成负面的影响。