第五次作业

一、回溯法分析 “最小重量机器设计问题”首先明确最小重量机器设计问题：有n个部件，每个部件有m个可选供应商，第i个部件选第j个供应商的重量为(w_{ij})、成本为(c_{ij})，要求选择每个部件的一个供应商，使得总成本不超过预算C，且总重量最小。1.1 解空间解空间是所有可能的部件供应商选择组合，形式为n元组((x_1, x_2, ..., x_n))，其中(x_i \in {1,2,...,m})（(x_i)表示第i个部件选择的供应商编号）。解空间的大小为(m^n)（每个部件有m种选择，共n个部件）。1.2 解空间树解空间树是一棵 **m叉树 **：根节点：表示 “未选择任何部件” 的初始状态；第i层节点（(1 \leq i \leq n)）：表示 “已确定前i个部件的供应商” 的状态；每个节点的子节点：对应下一个部件的m种供应商选择；叶节点：对应一个完整的n元组解（所有部件的供应商均已选定）。1.3 遍历解空间树时每个节点的状态值节点状态需记录以下信息：已选部件的数量：即当前处于解空间树的层数i；已产生的总成本：前i个部件选择对应的成本之和(\sum_{k=1}^i c_{k,x_k})；已产生的总重量：前i个部件选择对应的重量之和(\sum_{k=1}^i w_{k,x_k})；当前最优总重量（剪枝用）：已找到的合法解的最小重量，用于判断当前节点是否可能产生更优解。二、回溯法的理解回溯法是一种基于深度优先搜索的暴力枚举优化算法，核心特点如下：解空间遍历：通过遍历问题的解空间树（通常是子集树、排列树或m叉树），枚举所有可能的解；剪枝策略：在遍历过程中，若判断当前节点对应的部分解不可能扩展为合法解或更优解，则剪去该节点的所有子树，避免无效搜索；适用场景：适用于 “求解可行解 / 最优解” 的组合优化问题（如旅行商问题、0-1 背包问题），尤其适合解空间规模较大但可通过剪枝大幅缩小搜索范围的场景；时间复杂度：最坏情况下仍为指数级（如(O(2^n))或(O(mn))），但剪枝后实际效率通常远高于纯暴力枚举。