题解：CF1491H Yuezheng Ling and Dynamic Tree

CF1491H Yuezheng Ling and Dynamic Tree

Description

给定长度为 \(n-1(n\le 10^5)\) 的序列 \(fa_i(1<i\le n)\)，表示 \(i\) 在树上的父亲，特别地，\(1\le fa_i < i\)。

有 \(q(q\le 10^5)\) 次操作，

• 给定 \(l,r,x\)，将 \([l,r]\) 中的 \(fa\) 变为 \(\max(fa-x,1)\)。

• 给定 \(u,v\)，求树上的 LCA。

Solution

蒟蒻的第一道分块题 qwq

对 \(fa\) 分块，设块长为 \(B\)。

预处理出 \(pre_i\) 表示 \(i\) 不断往前跳 \(fa\)，第一次跳出块外的节点编号。

• 对于修改操作，

  • 散块直接暴力，注意右端点所在的块要全部更新，因为 一个块 中 \(fa\) 改变会对后面的 \(pre\) 产生影响。

  • 对于整块，发现至多 \(B\) 次操作以后，这里面所有节点的 \(fa\) 都会在块外，那这时候 \(pre = fa\)，于是，

    • 记 \(cnt_i\) 表示编号为 \(i\) 的 块，修改过多少次。若 \(cnt_i < B\)，直接暴力修改。

    • 若 \(cnt_i > B\)，记一个 \(tag_i\)，表示这个块整体总共减了多少 \(x\)，注意是当 \(cnt_i > B\) 时才开始统计 \(tag\)。

    • 那么后续要访问一个节点的 \(fa\)，就判断这个块目前是哪种情况，第一种直接取 \(fa_i\)，第二种就取 \(\max(fa_i - tag, 1)\)。\(pre\) 同理。

• 对于询问操作，我们类似于树剖求 LCA 那样一直往前跳，

  • 若当前 \(u\) 和 \(v\) 不在同一个块，那么靠后的往前跳。

  • 若当前 \(pre_u \neq pre_v\)，说明 LCA 肯定不在块内，就同时往 \(pre\) 跳。

  • 若在同一个块，且 \(pre\) 相等，说明 LCA 在块内，那么节点编号大的往前跳。

  • \(u=v\) 就找到 LCA 了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
using ULL = unsigned long long;
using PII = pair<int, int>;

const int N = 1e5 + 5;

int n, q, fa[N];
int B, l[N], r[N], idx, id[N], pre[N], cnt[N];
LL tag[N];

void change(int i) {
    if (fa[i] < l[id[i]]) pre[i] = fa[i];
    else pre[i] = pre[fa[i]];
}

void init() {
    B = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; ) {
        l[++idx] = i;
        r[idx] = min(n, i + B - 1);
        for (int j = l[idx]; j <= r[idx]; j++) {
            id[j] = idx;
            change(j);
        }
        i += B;
    }
}

void update(int ql, int qr, int x) {
    if (id[ql] == id[qr]) {
        for (int i = ql; i <= qr; i++) {
            fa[i] = max(fa[i] - x, 1);
            change(i);
        }
    } else {
        for (int i = ql; i <= r[id[ql]]; i++) {
            fa[i] = max(fa[i] - x, 1);
            change(i);
        }
        for (int i = l[id[qr]]; i <= qr; i++) {
            fa[i] = max(fa[i] - x, 1);
            change(i);
        }
    }
    for (int i = qr + 1; i <= r[id[qr]]; i++) change(i);
    for (int i = id[ql] + 1; i <= id[qr] - 1; i++) {
        if (cnt[i] >= B) {
            tag[i] += (LL)x;
        } else {
            cnt[i]++;
            for (int j = l[i]; j <= r[i]; j++) {
                fa[j] = max(fa[j] - x, 1);
                change(j);
            }
        }
    }
}

inline int get_pre(int i) {
    if (cnt[id[i]] >= B) return max(fa[i] - tag[id[i]], 1LL);
    else return pre[i];
}

inline int get_fa(int i) {
    if (cnt[id[i]] >= B) return max(fa[i] - tag[id[i]], 1LL);
    else return fa[i];
}

int query(int u, int v) {
    while (u != v) {
        if (id[u] != id[v]) {
            if (id[u] < id[v]) swap(u, v);
            u = get_pre(u);
            // cout << "1: " << u << ' ' << v << '\n';
        } else if (get_pre(u) != get_pre(v)) {
            u = get_pre(u), v = get_pre(v);
            // cout << "2: " << u << ' ' << v << '\n';
        } else {
            if (u < v) swap(u, v);
            u = get_fa(u);
            // cout << "3: " << u << ' ' << v << '\n';
        }
    }
    return u;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin >> n >> q;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        cin >> fa[i];
    }
    init();
    int op, ql, qr, x, u, v;
    while (q--) {
        cin >> op;
        if (op == 1) {
            cin >> ql >> qr >> x;
            update(ql, qr, x);
            // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << i << ":" << fa[i] << ' ';
            // cout << '\n';
            // for (int i = 1; i <= n; i++) cout << i << ":" << pre[i] << ' ';
            // cout << '\n';
        } else {
            cin >> u >> v;
            cout << query(u, v) << '\n';
        }
    }
    return 0;
}

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ans: 2
*/