Jensen不等式

（1）定义

设f是定义域为实数的函数，如果对所有的实数x，f(x)的二阶导数都大于0，那么f是凸函数。

Jensen不等式定义如下：

如果f是凸函数，X是随机变量，那么：  。当且仅当X是常量时，该式取等号。其中，E(X)表示X的数学期望。

注：Jensen不等式应用于凹函数时，不等号方向反向。当且仅当x是常量时，该不等式取等号。

（2）举例

图2：Jensen不等式

图2中，实线f表示凸函数，X是随机变量，有0.5的概率是a，有0.5的概率是b。X的期望值就是a和b的中值，从图中可以看到  成立。