CF1846题解

洛谷题面
T1,T2,T4没什么价值，建议跳过，在此不提供T1,T2题解，套题T5,T7较为精彩，个人安利一下

T3

题面翻译

给定 n个人做 m个题的时间分布情况，每题得一分，每题的完成时间是这道题的罚时，排名按照得分为第一关键字升序，罚时为第二关键字降序，计算在所有人都按最优顺序做题的情况下，第 1个人的排名。

此题做法

贪心选择所用时间最短的，既保证了能做的题最多，又保证了罚时最少。

T4

题面翻译

计算几何简单题，推荐忽略。

给定一些关于y轴对称，底边平行x轴的三角形，求三角形面积并。

此题做法

对于每个三角形，求出其露在外边的梯形即可。

T5

题面翻译

询问 T 次：是否存在一个满 k（k≥2） 叉树节点数恰好为 n，且叶子节点到根的路径上至少有 3个节点。

数据范围：\(T\in[1,10^4]\),\(n\in[1,10^{18}]\)

此题做法

考虑列出式子，深度为d的满k叉树节点个数：​\(s=\frac{k^d-1}{k-1}\)​，\(d>=3\)（可由等比数列求和公式得到）

容易发现k在​\(\sqrt{n}\)​的量级，d在log n的量级，直接暴力枚举k,d并判断是否等于n是​\(T\sqrt{n}logn\)​的复杂度，无法接受，考虑优化。

我们考虑此类题型的一个常见套路：分值域选策略，即对于较小值域带来答案选择一个策略（通常是较复杂的），较大值域带来答案选择另一个策略（通常较简单）。

我们发现，当\(k>=10^6\)，d只能取3，又由于随着k的增大，s具有单调性，可以二分答案解决；\(k<=10^6\)，带来的所有答案在\(10^6\log{10^6}\)量级，我们可以预处理出\(10^{18}\)以内的所有答案并丢到map里边。

总结：套路-分值域策略。

T6

题面翻译

交互题，给定一个长度为n的序列，其中有一个异常数字，最多每两轮就会改变一次（最晚第二轮操作后，第四轮操作后），每轮打乱整个序列重新排序。你可以不操作，删除某些数字，并在5次操作内指出异常数字位置。注意你不能删除异常数字。

数据范围：T<=1000(多测)，n<=200

此题做法

前两轮啥也不能干，因为不确定异常数字是谁。第三轮操作前异常数字会变成另一个，那么我们可以把除了与异常数字变化后的数不相等的数都删了（这样也方便之后判断时去除其他干扰）。第四轮啥也不能干，因为不确定在哪。然后第5轮它变一下就知道是谁了。这道题一切都很自然就做完了。

T7

题面翻译

给定十位以内01串作为状态，一共m种操作，每个操作：花费代价​\(c_i\)​，异或上与状态​\(a_i\)​的并集然后或上状态​\(b_i\)​，求全部归零的最小代价。

数据范围：\(\sum{m}<=1000\)

此题做法

首先总状态数为​​​\(2^{10}=1024\)​​​，并不大，容易想到状压dp，即​​\(dp[s]\)​​表示状态s全部归零的最小代价，时间复杂度​\(2^{10}1000\)​，然后就过了？

不不不，你的无后效性呢？怎么枚举？怎么确定一个点不会被再次更新？总不能每个点被更新以后在更新这个点所有的可达点吧，这样就\(10^9\)了...

我们列出式子，观察形式：​​\(dp[s]=min(dp[t]+c_i)\)​且​\(t\ xor\ (s∪a_i) |b_i=s\)​​，发现这个东西形如dijsktra的\(dis[i]=min(dis[j]+w)\)，然后发现边和点的数量级可以接受，就做完了。

这启示我们，及时列出式子，可以减少许多不必要的思维量，同时也要记好常见算法所解决问题的式子形式。

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