字符串匹配算法
字符串匹配算法
KMP算法
KMP算法是由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt提出的。
首先，要了解两个概念：
- 前缀 (prefix)，指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；
- 后缀 (suffix)，指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。
"部分匹配值" 就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，
－ "A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
－ "AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；
－ "ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；
－ "ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；
－ "ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；
－ "ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；
－ "ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。
假如我们要在字符串string="BBC ABCDAB ABCDABCDABDE" 中搜索 pattern="ABCDABD" 是否存在，通常我们从string的第一个位置开始比较，
如果不匹配就将pattern继续向右移动，移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值，直到找到匹配的子串或者返回无匹配。
例如，当pattern移动到如下位置时，发现前6个字符都匹配，只有最后一个字符D与空格不匹配，
这里前6个字符"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。
因此，下一步向右移动位数 = 6 - 2 = 4，
现在，只有前2个字符匹配（"AB"），其"部分匹配值"为0，因此右移位数 = 2 - 0 = 2，
上图可见匹配长度为0，继续后移1位
现在的匹配字符是前6个，且其"部分匹配值"为2，继续后移4位
OK，此时完全匹配！如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。
Boyer-Moore算法
1977年，德克萨斯大学的Robert S. Boyer教授和J Strother Moore教授发明了这种算法。
下面，我根据Moore教授自己的例子来解释这种算法。
1.
假定字符串为"HERE IS A SIMPLE EXAMPLE"，搜索词为"EXAMPLE"。
2.
首先，"字符串"与"搜索词"头部对齐，从尾部开始比较。
这是一个很聪明的想法，因为如果尾部字符不匹配，那么只要一次比较，就可以知道前7个字符（整体上）肯定不是要找的结果。
我们看到，"S"与"E"不匹配。这时，"S"就被称为"坏字符"（bad character），即不匹配的字符。我们还发现，"S"不包含在搜索词"EXAMPLE"之中，这意味着可以把搜索词直接移到"S"的后一位。
3.
依然从尾部开始比较，发现"P"与"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"。但是，"P"包含在搜索词"EXAMPLE"之中。所以，将搜索词后移两位，两个"P"对齐。
4.
我们由此总结出"坏字符规则"：
后移位数 = 坏字符的位置 - 搜索词中的上一次出现位置
如果"坏字符"不包含在搜索词之中，则上一次出现位置为 -1。
以"P"为例，它作为"坏字符"，出现在搜索词的第6位（从0开始编号），在搜索词中的上一次出现位置为4，所以后移 6 - 4 = 2位。再以前面第二步的"S"为例，它出现在第6位，上一次出现位置是 -1（即未出现），则整个搜索词后移 6 - (-1) = 7位。
5.
依然从尾部开始比较，发现"MPLE"匹配，我们把这种情况称为"好后缀"（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，"MPLE"、"PLE"、"LE"、"E"都是好后缀。
根据"坏字符规则"，这里坏字符为"I" （位置=2），此时搜索词应该后移 2 - （-1）= 3 位。问题是，此时有没有更好的移法？
我们知道，此时存在"好后缀"。所以，可以采用"好后缀规则"：
后移位数 = 好后缀的位置 - 搜索词中的上一次出现位置
举例来说，如果字符串"ABCDAB"的后一个"AB"是"好后缀"。那么它的位置是5（从0开始计算，取最后的"B"的值），在"搜索词中的上一次出现位置"是1（第一个"B"的位置），所以后移 5 - 1 = 4位，前一个"AB"移到后一个"AB"的位置。
再举一个例子，如果字符串"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则"EF"的位置是5 ，上一次出现的位置是 -1（即未出现），所以后移 5 - (-1) = 6位，即整个字符串移到"F"的后一位。
这个规则有三个注意点：
（1）"好后缀"的位置以最后一个字符为准。假定"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则它的位置以"F"为准，即5（从0开始计算）。
（2）如果"好后缀"在搜索词中只出现一次，则它的上一次出现位置为 -1。比如，"EF"在"ABCDEF"之中只出现一次，则它的上一次出现位置为-1（即未出现）。
（3）如果"好后缀"有多个，则除了最长的那个"好后缀"，其他"好后缀"的上一次出现位置必须在头部。比如，假定"BABCDAB"的"好后缀"是"DAB"、"AB"、"B"，请问这时"好后缀"的上一次出现位置是什么？回答是，此时采用的好后缀是"B"，它的上一次出现位置是头部，即第0位。这个规则也可以这样表达：如果最长的那个"好后缀"只出现一次，则可以把搜索词改写成如下形式进行位置计算"(DA)BABCDAB"，即虚拟加入最前面的"DA"。
回到上文的这个例子。此时，所有的"好后缀"（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有"E"在"EXAMPLE"还出现在头部，所以后移 6 - 0 = 6位。
6.
可以看到，"坏字符规则"只能移3位，"好后缀规则"可以移6位。所以，Boyer-Moore算法的基本思想是，每次后移这两个规则之中的较大值。
更巧妙的是，这两个规则的移动位数，只与搜索词有关，与原字符串无关。因此，可以预先计算生成《坏字符规则表》和《好后缀规则表》。使用时，只要查表比较一下就可以了。
7.
继续从尾部开始比较，"P"与"E"不匹配，因此"P"是"坏字符"。根据"坏字符规则"，后移 6 - 4 = 2位。
8.
从尾部开始逐位比较，发现全部匹配，于是搜索结束。如果还要继续查找（即找出全部匹配），则根据"好后缀规则"，后移 6 - 0 = 6位，即头部的"E"移到尾部的"E"的位置。
Rabin-Karp算法
Rabin-Karp算法，是由M.O.Rabin和R.A.Karp发明的一种基于散列的字符串查找算法。
通常情况下，基于散列的字符串查找步骤是：
- 首先计算模式字符串的散列函数；
- 然后利用相同的散列函数计算文本中所有可能的M个字符的子字符串的散列函数值并寻找匹配
但是这种方法比暴力查找还慢，因为计算散列值会涉及字符串中的每个字符。Rabin和Karp对上述方法进行了改进，发明了一种能够在常数时间内算出M个字符的子字符串散列值的方法。
递推文本串的散列值：
以Ti表示文本字符T[i]，Xi表示文本串T[i...M-1-i]的整数值，其中M为模式串长度，则：
然后通过上述公式递推就可以得到字符串T[i+1...M-i]的hash值，即Xi+1 % P。
int charToInt(char a) { return a - 'a'; } int rkSearch(string t, string p) { size_t N = t.size(); size_t M = p.size(); if (M > N) return -1; const int R = 26; const long P = 2 << 30; // pow(2, 31);
long txtHash = 0, patternHash = 0; for (int n = 0; n < M; n++) { txtHash = (R * txtHash + charToInt(t[n])) % P; patternHash = (R * patternHash + charToInt(p[n])) % P; } if (txtHash == patternHash) { return 0; } // 计算R^M long RM = 1; for (int n = 1; n <= M; n++) { RM = (RM * R) % P; } for (int n = 1; n <= N - M; n++) { txtHash = (txtHash * R - charToInt(t[n - 1]) * RM + charToInt(t[n - 1 + M])) % P; if (txtHash == patternHash) return n; } return -1; }
