第三章 图论与搜索三

最小生成树

最小生成树：由n个节点，和n-1条边构成的无向连通图被称为G的一颗生成树，在G的所有生成树中，边的权值之和最小的生成树，被称为G的最小生成树。(换句话说就是用最小的代价把n个点都连起来)

有两种常用算法：

• Prim算法（普利姆）朴素版Prim（时间复杂度O(n2)，适用于稠密图）堆优化版Prim（时间复杂度O(mlogn)，适用于稀疏图）
• Kruskal算法（克鲁斯卡尔）适用于稀疏图，时间复杂度O(mlogm)对于最小生成树问题，如果是稠密图，通常选用朴素版Prim算法，因为其思路比较简洁，代码比较短，如果是稀疏图，通常选用Kruskal算法，因为其思路比Prim简单清晰。堆优化版的Prim通常不怎么用。

朴素Prim

算法流程

1. 初始化距离, 将所有点的距离初始化为INF

   (这里的距离指的是点到集合的距离，而Dijkstra的距离是到起点的距离)

2. n次循环

   1. 找到不在集合s中, 且距离最近的点t

   2. 用t来更新其他点到的距离

      集合s

   3. 将t加入到集合s中

代码模板

// 时间复杂度是  O(n2+m)O(n2+m) , nn 表示点数，mm 表示边数
int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中

// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

Kruskal

算法流程

1. 先将所有边，按照权重，从小到大排序
2. 从小到大枚举每条边(a，b，w)，若a，b不连通，则将这条边，加入集合中（将a点和b点连接起来）

代码模板

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

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二分图

二分图

指的是，可以将一个图中的所有点，分成左右两部分，使得图中的所有边，都是从左边集合中的点，连到右边集合中的点。而左右两个集合内部都没有边。

有两种常用的相关算法

• 染色法
• 匈牙利算法

其中染色法是通过深度优先遍历实现，时间复杂度是O(n×m)；匈牙利算法的时间复杂度理论上是O(n×m)，但实际运行时间一般远小于O(n×m)。

图论中的一个重要性质：一个图是二分图，当且仅当图中不含奇数环奇数环，指的是这个环中边的个数是奇数。（环中边的个数和点的个数是相同的）

染色法

可以用染色法来判断一个图是否是二分图，使用深度优先遍历，从根节点开始把图中的每个节点都染色，保证每个节点与相邻节点的颜色不同（但是只有黑白两种），只要染色过程中没有出现矛盾，说明该图是一个二分图，否则，说明不是二分图。

匈牙利算法

解决的问题

匈牙利算法，是给定一个二分图，用来求二分图的最大匹配的。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

代码模板

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}