算法第五章作业

1. 关于最小重量机器设计问题的回溯法分析
   1.1 解空间
   “最小重量机器设计问题”的解空间由所有可能的部件供应商选择方案构成。具体来说，若机器由 m 个部件组成，每个部件可从 n 个供应商中选择，则解空间为每个部件分配一个供应商编号，所有可能的组合数为 n的m次方。每一个解可以表示为一个长度为 m 的向量 (x1,x2,...,xm)，其中xi∈{1,2,...,n} 表示第 i 个部件选择的供应商。
   1.2 解空间树
   解空间树是一棵高度为 m+1（根结点深度为 0）的 n 叉树。根结点对应初始状态（未选择任何部件的供应商），第 k 层结点对应前 k 个部件的供应商选择。每个非叶子结点有 n 个子结点，分别代表对下一个部件选择不同供应商的分支。叶子结点位于第 m 层，对应一个完整的供应商选择方案。
   1.3 遍历过程中结点的状态值
   在回溯遍历解空间树时，每个结点（对应某个搜索状态）需要记录以下状态值：
   当前总重量：已选部件的重量之和。
   当前总成本：已选部件的成本之和。
   当前解向量：从根到该结点路径上的供应商选择序列。
   剩余部件的最小可能重量（用于界函数剪枝）：可根据尚未选择的部件的最小可能重量估算。
   在搜索过程中，通过约束函数（总成本不超过给定限制）和界函数（当前总重量加上剩余部件最小可能重量小于已知最佳解重量）进行剪枝，避免无效搜索。
2. 对回溯算法的理解
   回溯算法是一种通过深度优先搜索遍历问题解空间，并在搜索过程中利用约束条件和目标函数进行剪枝的通用算法框架。其核心思想是“尝试—回溯”，逐步构建可能的解，当发现当前部分解不可能导向全局可行解或最优解时，立即回溯到上一个选择点，尝试其他分支。
   回溯算法通常适用于组合搜索问题，尤其是解空间规模较大但可通过剪枝大幅减少搜索量的情况。算法的效率高度依赖于问题的约束强度与设计的剪枝策略：有效的约束函数能尽早排除非法分支，而界函数则能避免对非优分支的深入搜索。
   与穷举搜索相比，回溯法通过系统性的状态空间探索与剪枝，在多数实际问题中能显著降低计算复杂度。然而，在最坏情况下，它仍可能退化为指数级搜索，因此其性能与问题结构紧密相关。
   总结来说，回溯法体现了一种在解空间中进行智能搜索的思想，通过局部判断提前舍弃无效路径，从而在可接受时间内找到可行解或最优解。它是对暴力搜索的一种重要优化，广泛应用于人工智能、组合优化和决策问题中。