数理逻辑 - 递归定理

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\[\newcommand{\s}{\mathrm{s}} \newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\T}{\mathbf{T}} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\xn}{{\vec x_n}} \newcommand{\x}{\vec x} \newcommand{\if}{\mathbf{if}\quad} \newcommand{\oth}{\mathbf{otherwise}} \newcommand{\bb}[1]{\{#1\}} \newcommand{\th}{\mathscr{T}} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\Q}{\mathcal{Q}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\p}{\mathfrak{P}} \newcommand{\r}{\mathfrak{R}} \newcommand{\uc}[1]{\ulcorner #1\urcorner} \newcommand{\n}{\mathfrak N} \]

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Thm(Kleene). 对于任意 \(\lambda xy.f\in\frak P\) , 存在 \(e\) 使得 \(\lambda x.f(e,x)=\{e\}\) .

构造与证明

令函数 \(h:=\l xy. f(\s^1_1(x,x),y)\) , 显然 \(h\in\p\) , 故取其编码 \(q\) , 之后令 \(e:=\s^1_1(q,q)\) 即可. 接下来我们证明这个 \(e\) 就是我们想要的, 根据构造有

\[\bl \bb e&=\bb{\s^1_1(q,q)}\\ &=\l y.\bb q(q,y)\\ &=\l y.h(q,y)\\ &=\l y.f(\s^1_1(q,q),y)\\ &=\l y.f(e,y) \el \]

为什么要这么构造?

核心的原理是自指涉, 我们希望这个 \(e\) 是被某个参数 \(d\) 用某种范式 \(F\) 构造出来的, 并且在 \(e\) 中这个参数 \(d\) 可以再次被输入到这个范式 \(F\) 中再生成一次 \(e\) , 为此我们需要用到 s-m-n 引理来帮助我们把 \(d\) 的函数信息以及 \(d\) 这个数字本身压缩在一起, 于是令 \(e:=\s^1_1(d,d)\) . 故对于输入 \(y\) , 我们有 \(\bb e(y)=\bb{d}(d,y)\) . 而另一方面我们又希望 \(\bb e(y)=f(e,y)\) , 这就是要求

\[\bb d(d,y)=f(\s^1_1(d,d),y) \]

到这里已经给了我们很强的暗示性了, 由于 \(\bb d\) 和 \(d\) 一个是函数一个是数字, 本质上是很不同的东西, 所以我们可以令 \(\bb d\) 就是这个范式 \(F\) 本身, 即令 \(\bb d=\l xy.f(\s^1_1(x,x),y)\) , 从而在 \(e\) 中它会再次把参数 \(d\) 解压出来然后调用 \(F\) 来生成自己.

能行性与统一构造

上述的过程之所以可以被称为范式是因为我们可以把 \(f\mapsto e\) 的这个过程从元层次拉到对象层次里. 对于函数 \(f\) 的编码 \(\uc f\) , 首先我们获取 \(\l x.\s^1_1(x,x)\) 和投影函数 \(u^2_2:(x,y)\mapsto y\) 的编码 \(a_0,a_1\) (它们是常数), 之后我们可以用复合得到 \(h\) 的编码 \(\uc h=\la{1,2,\uc f,a_0,a_1}\) , 之后再令 \(e=\s_1^1(\uc h,\uc h)\) 即可.

因此定理被强化为, 存在原始递归函数 \(\l x.{\rm R}\) 使得对于任意的 \(i\in\N\) , 若 \(\bb i\) 是二元函数, 那么 \(\l x.\bb{i}({\rm R}(i),x)=\bb{{\rm R}(i)}\) .