CF2234G. Stripe, Token and Two Players

记录一个很有意思的观察。朴素的博弈 DP 状态是

\[DP[i,j]:=位置在\ i\ 并且能力为\ j\ 的前提下先手是否必胜\newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \]

然后转移就是

\[\begin{align*} DP[i,j]&=1\\ &\leftrightarrow (\exists x:j\le x\le j+a[i])(\exists y:i<y\le i+x)\la{DP[y,x]=0} \end{align*} \]

我们可以通过记录满足 \(\la{DP[y,x]=0}\) 最小的 \(y\) 来压缩掉对 \(y\) 的枚举，即令

\[f[x]:=(\mu y)\la{DP[y,x]=0} \]

那么显然我们有

\[\begin{align*} DP[i,j]&=1\\ &\leftrightarrow (\exists x:j\le x\le j+a[i])\la{f[x]\le x+i} \end{align*} \]

相对，我们要去维护 \(f\) ，由于我们的 \(f\) 是一个相对的值，并且我们的状态 \(i\) 是从大到小更新的，所以我们只在每次更新 \(DP[i,j]\leftarrow 0\) 的时候更新 \(f[j]\leftarrow i\) 。整个过程可以理解为在从大到小遍历 \(i\) 的时候如果 \(f[x]-x>i\) 我们就把 \(x\) 加入线段，之后我们用一个数据结构维护连续的线段，一旦某个连续的线段的长度超过 \(a[i]+1\) 就可以更新了。

之后剩下的问题是怎么高效地更新，答案是暴力就可以了，以下的观察解释了这一点

如果 \(f[x]\) 在 \(i\) 处被更新，那么下一次 \(f[x]\) 更新至多为 \(i-x\)

于是总的来看 \(f[x]\) 被更新的次数不超过 \(O\left(\frac nx\right)\) ，因此总的更新次数不超过

\[\begin{align*} &O\left(\frac n1\right)+O\left(\frac n2\right)+...+O\left(\frac nn\right)\\ \sim& O\left(n\log n\right) \end{align*} \]

维护连续段的事情可以交给线段树或者 set 。