数理逻辑 - 不可定义性定理

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\[\newcommand{\lra}{\leftrightarrow} \newcommand{\inp}{\leftarrow} \newcommand{\fa}{\forall} \newcommand{\ex}{\exists} \newcommand{\bl}{\begin{aligned}} \newcommand{\el}{\end{aligned}} \newcommand{\t}{ {\bf t} } \newcommand{\f}{ {\bf f} } \newcommand{\T}{\mathbf{T}} \newcommand{\eq}{\equiv} \newcommand{\la}[1]{\langle #1\rangle} \newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\l}{\lambda} \newcommand{\xn}{{\vec x_n}} \newcommand{\x}{\vec x} \newcommand{\if}{\mathbf{if}\quad} \newcommand{\oth}{\mathbf{otherwise}} \newcommand{\bb}[1]{\{#1\}} \newcommand{\th}{\mathscr{T}} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\Q}{\mathcal{Q}} \newcommand{\R}{\mathcal{R}} \newcommand{\p}{\mathfrak{P}} \newcommand{\r}{\mathfrak{R}} \newcommand{\uc}[1]{\ulcorner #1\urcorner} \newcommand{\n}{\mathfrak N} \]

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Thm(Tarski). 令 \(\T:=\bb{\uc\A:\A\in\th(\mathfrak N)}\) , 则 \(\T\notin\Delta\) .

若不然, 由于 \(\Delta=\Delta_\infin\) , 故存在 \(m\in\N\) 使得 \(\T\in\Sigma_m\cup\Pi_m\) . 由 I.8.72 可得 \(\Sigma_m\cup\Pi_m\subsetneq\Delta_{m+1}\) , 因此可以取 \(\l\xn.R\in\Delta_{m+1}\) 满足它不在 \(\Sigma_m\cup\Pi_m\) 中. 再由 I.9.30 可得存在 \(L_\n\) 上的公式 \(\R(\xn)\) 在 \(\n\) 中定义 \(R\)​ , 为导出矛盾, 我们考虑证明如下的引理.

Lem 1. 对于 \(L_\n\) 上的项 \(t[\vec v_n]\) , 函数 \(q_t:=\l\xn.\uc{t[v_1\inp\widetilde{x}_1,...,v_n\inp\widetilde{x}_n]}\) 是原始递归的.

我们对项的复杂度施以归纳.
当 \(t\) 是闭项时, 显然 \(q_t\) 是一个常函数, 则显然是原始递归的.
当 \(t\) 是单个变元时, 根据 I.9.26 , 函数 \({\rm u}:=\l n.\uc{\widetilde n}\) 是原始递归的, 假定 \(t\) 的那个变元是 \(v_i\) , 则 \(q_t(\xn)={\rm u}(u^n_i(\xn))\) 显然是原始递归的, 故是递归的.
当 \(t=f(s_1,...,s_k)\) 时, 根据规定 \(\uc{t[\vec v_n\inp\widetilde\x_n]}=\la{\uc f,\uc{s_1[\vec v_n\inp\widetilde\x_n]},...,\uc{s_k[\vec v_n\inp\widetilde\x_n]}}\) , 从而由函数的复合可以得出 \(q_t(\xn)=\la{\uc f,q_{s_1}(\xn),...,q_{s_k}(\xn)}\) , 而我们知道固定长度的编码函数 \(\l\xn.\la{\xn}\) 时原始递归的, 同时由 I.H. 可得 \(q_{s_i}\) 均是原始递归的, 故 \(q_t\) 也是原始递归的.

Lem 2. 对于 \(L_\n\) 上的公式 \(\Q[\vec v_n]\) , 函数 \(q_{\Q}:=\l\xn.\uc{\Q[v_1\inp\widetilde{x}_1,...,v_n\inp\widetilde{x}_n]}\) 是原始递归的.

我们对公式的复杂度施以归纳.
当 \(\Q\) 是原子公式时, 语言中只有 \(s=t\) 和 \(s<t\) 的情形, 由函数复合和 Lem 1 我们可以立即得出 \(q_\Q\) 是原始递归的.
对于逻辑联词的情形, 当 \(\Q\eq\neg\A\) 时, 显然 \(\uc{\Q[\vec v_n\inp\widetilde\x_n]}=\la{\uc\neg,\uc{\A[\vec v_n\inp\widetilde\x_n]}}\) 即 \(q_\Q(\xn)=\la{\uc\neg,q_\A(\xn)}\) , 从而由 I.H. 可得 \(q_\Q\) 时原始递归的; 当 \(\Q\eq\A\or\B\) 时, 同理由函数复合可以得到 \(q_\Q\) 的原始递归性.
对于存在量词的情形, 假定 \(\Q\eq (\ex y)\A\) , 无论我们的替换是否囊括了 \(y\) , 我们可以对 \(\A\) 的替换函数进行一些修改(比如放弃掉对于某些变元的替换)从而使得我们可以由 \(\A\) 的替换函数中平凡地通过函数复合导出 \(\Q\) 的替换函数, 因而 \(q_\Q\) 亦是原始递归的.

由于 \(\R(\vec v_n)\) 在 \(\n\) 中定义了 \(R\) , 故对于任意 \(\xn\in\N\) , 我们有

\[\bl \xn\in R&\iff\R(\overline\x_n)^\n=\t\\ &\iff \n\vDash \R[v_1\inp\widetilde x_1,...,v_n\inp\widetilde x_n]\\ &\iff \uc{\R[v_1\inp\widetilde x_1,...,v_n\inp\widetilde x_n]}\in\T \el \]

故有 \(R(\xn)\lra\T(q_\R(\xn))\) , 而根据 I.8.63 , 由于 \(q_\R\) 是原始递归的, 故 \(R\in\Sigma_m\cup\Pi_m\) , 与前提矛盾.